關于分辨力的討論
史錦順
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1 分辨力的意義
分辨力是測量儀器的性能要素之一。現有的測量學理論，對分辨力關注甚少，以致在應用中常被誤解。
分辨力是測量能力的閾值。閾值就是門限、門檻，是測量儀器幾項性能的限度。
1 量程最小值的限度。
2 分散性的最小限度。隨機誤差、復現性的最小限度。
3 不準確性的最小限度。誤差元與誤差范圍的最小限度。
測量儀器的性能指標，必須在測量儀器能分辨得出的條件下，才能談得上。許多文章，把指標分析得優于、甚至遠優于分辨力，是不對的。
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實例1
G先生用一臺數字式頻率計測量他研制的5兆赫高穩晶振，秒采樣，顯示數100個，都是5000000赫，代入公式計算，西格瑪等于零。問我如何計算穩定度。我告訴他，數字式頻率計1秒采樣的分辨力是1赫，辨別不了1赫以下的頻率變化。這個測量只能說明，你的晶振的性能，穩定性優于2E-7。
把100個測得值代入公式算，不穩定度是零，但這種計算無效。正確的作法是更換測量儀器，用頻標比對器。該比對器采用微差倍增法(等效頻率乘20000)，使分辨力提高到1E-11。再用計算計數器，擴展100倍，分辨力達到1E-13，這樣才能正確測出高穩晶振的穩定度。后來，此人研制的晶振，榮獲第一屆全國晶振比對長穩第1名。
以上這個例子比較極端，不能將相同的數據代入公式計算這一點，比較容易識別。大量書籍、文獻中，甚至樣板評定中，數據最大變化僅為2，甚至僅為1，也代入貝塞爾公式計算，這是不妥當的。筆者認為，計算得到的西格瑪一般不能小于分辨力的二分之一，或者最小不能小于分辨力的三分之一。這樣才能符合分辨力是最小識別范圍的邏輯。精密測量要求有高的分辨力。數據變化量要在分辨力的三倍一上，否則不能動用貝塞爾公式。
實例2
一根鋼棒，用米尺量，測得值100.5mm；用游標卡尺量100.00mm用千分尺量100.02mm。經比長儀測量得100.000mm。有人據此評論說，考察米尺、游標卡尺、千分尺的性能時，比長儀的測得值可視為真值，因此這組測量,米尺測量誤差為0.5mm；游標卡尺誤差為零，即不準確度為零；千分尺的誤差為0.02mm。此評價忘了分辨力的作用。游標卡尺分辨力為0.05mm，算誤差不能小于分辨力，因此游標卡尺的誤差給法最低是0.05mm，而不能是零。
有人問：測得值減真值是誤差嗎，怎么上邊對游標卡尺的計算不對？
可以這樣理解，游標卡尺的測得值L(D)應寫成：
L (D)= 100.00mm±0.05mm
設真值L(Z)是100.000mm，則誤差為L(D)減L(Z)，就不會得零了，而是得±0.05 mm。因此，即使測得值等于真值，測量誤差的最小值是分辨力，而不應是零。
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2 誤差理論對分辨力的處理
誤差理論講到分辨力時，通常認為：若分辨力是D, 則分辨力的誤差范圍是±D。也可表示為誤差范圍[-D,+D]。
計數式頻率計，分辨力為尾數的一個字，引進誤差為加減一個字，并且有專有名稱，叫“正負1誤差”。例如0.1秒采樣（閘門時間0.1秒），計數器尾數一個字代表10赫，因而分辨力引入的測量誤差范圍是±10赫。
以上誤差理論對分辨力的認識，載于各種書籍，特別是載于各種計數式頻率計的說明書，就不再給文獻出處了。
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3 不確定度論對分辨力的處理
不確定度論對分辨力處理的規范作法是：設分辨力是D，其半寬為D/2，均勻分布，除以根號3，得標準不確定度為0.29D。
不確定度論的這個對分辨力認識，載于眾多文獻。[1-3]
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4 關于分辨力的討論
設分辨力是D，誤差論認為此項誤差的誤差范圍區間是[-D,D] 誤差區間的寬度是2D，半寬度是D。
不確定度論認為：分辨力是D，不確定度區間半寬度是D/2
兩種理論對分辨力的處理，差別甚大，是兩倍關系。
本文論證：誤差論對分辨力的認識是正確的；不確定度論對分辨力的認識是錯誤的。
我們做實驗如下。
實驗1
取一臺電子案秤。最低位為1克，即分辨力是1克。
我們來做分辨力實驗。 用案秤測量10克砝碼，顯示為10克。加標稱值為100毫克的砝碼（以下加減砝碼，都指100毫克砝碼），加一個到3個砝碼，顯示都是10克；加4個砝碼，顯示為11克，加5個到13個砝碼顯示都是11克；加14個砝碼時顯示為12克，加15個到23個砝碼，顯示都是為13克。分辨力是10個100毫克的砝碼，即1克。
我們看，加4個砝碼（物重10.4克）時，顯示為11克。再加9個砝碼，顯示仍為11克，就是說，在測量10.4克時，加9個砝碼，仍分辨不出。
加13個砝碼時（物重11.3克）時，顯示為11克，減去9個砝碼，顯示仍為11克，減去9個砝碼仍分辨不出。
分辨不出的情況，砝碼增減的最大可能是加減9個砝碼，因此其范圍是加減0.9克。下表單位是1克。
重物 顯示 重物可能值 砝碼重量變化范圍(偏差可能范圍)
10.4 11 10.4——11.3 0——0.9
10.5 11 10.4——11.3 -0.1——0.8
10.6 11 10.4——11.3 -0.2——0.7
10.7 11 10.4——11.3 -0.3 ——0.6
10.8 11 10.4——11.3 -0.4——0.5
10.9 11 10.4——11.3 -0.5——0.4
11.0 11 10.4——11.3 -0.6——0.3
11.1 11 10.4——11.3 -0.7——0.2
11.2 11 10.4——11.3 -0.8——0.1
11.3 11 10.4——11.3 -0.9——0
11.4 12 11.4——12.3 0——0.9
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此實驗可以更細，增減的砝碼小到10毫克或1毫克，于是相應的范圍成為加減0.99克或加減0.999克。
因此，變化范圍應為[-1克,+1克]。
由上，分辨力是1克的電子秤，分辨范圍是加減1克。
結論：分辨力是1，則按范圍寫出是正負1。因此除以2是不對的。
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我們再從示值誤差的角度來討論。
示值是以克為單位的整數。而被測物的重量是有各種可能的數。整數的轉換點不同，則示值誤差不同。
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轉換點內區間 被測物重 示值 示值最大誤差元
10.01 10.99 10.01 11 0.99
10.1 11.0 10.1 11 0.9
10.2 11.1 10.2 11 0.8
10.3 11.2 10.3 11 0.7
10.4 11.3 10.4 11 0.6
10.5 11.4 10.5 11 0.5
10.6 11.5 11.5 11 -0.5
10.7 11.6 11.6 11 -0.6
10.8 11.7 11.7 11 -0.7
10.9 11.8 11.8 11 -0.8
10.91 11.9 11.9 11 -0.9
10.99 11.98 11.98 11 -0.98
10.999 11.998 11.998 11 -0.998
例2 取一臺數字式頻率計。其原理是在標準的閘門時間內數被測頻率的脈沖數。
被測頻率1.1赫，即周期0.9秒，在1秒的閘門時間中，可能出現兩個脈沖，測得值2赫，誤差為0.9赫。若被測頻率是0.9赫，即周期為1.1秒，一個采樣時段中，可能一個脈沖都不出現，測得值0赫，誤差為負0.9赫。
若被測頻率是1.01赫，測得值可能為2赫，誤差最大可能是0.99赫；被測頻率是0.99赫，測得值可能為0赫，誤差的極端值是負0.99赫。因而，當采樣時間為1秒時，計數器一個字的分辨力的誤差范圍是[-1Hz；+1Hz],誤差范圍的半寬度是1赫。
樣板評定實例[3] 0.1秒采樣。即閘門時間為0.1秒。計數器每記得一個數，代表10赫。由此，區間半寬度是10 赫。樣板評定以10赫除以2，得5赫做為區間半寬，這是不對的。
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結論 測量儀器的分辨力是D，誤差范圍是[-D,+D]，包含區間的寬度2D，區間半寬度是D。數字式儀表的分辨力D是最低位的一個字，誤差范圍是[-1,+1]，區間的半寬是一個字所代表的量。
對分辨力的認識，誤差理論是正確的；不確定度論是錯誤的。
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參考文獻
[1] GUM
[2]《不確定度原理》 劉智敏著
[3] 國家計量技術統一宣貫教材《測量不確定度評定與表示指南》國家質量技術監督局組編
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