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                                              兩類線性-
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                                                                     史錦順
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（一）量值的函數關系
       y是因變量，x是自變量。y是x的函數。于是稱y為函數，x為變量。
                    y = f (x)                                       
這是一般函數關系的表達式。線性函數的表達式為
                    y = a + bx                                                                  （1）   
       具有形式為（1）的函數關系稱線性函數關系，簡稱線性函數。也稱一次函數。
       推廣到多元函數，變量是一次方，又只有加減，也是線性函數。又稱一次函數。
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       以下函數都不是線性函數
                  y = 1/x；
                  z = xy；
                 指數函數；對數函數；三角函數……
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（二）誤差量的函數關系
       函數的改變量，等于函數對各個自變量偏微分的和。就是泰勒展開的一級近似。
                    f(x,y)= f(x_o,y_o)+ (?f/?x) (x-x_o)+ (?f/?y) (y-y_o)               （2）
                    f(x,y) -f(x_o,y_o) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy                           （3）
                   Δf=(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy                                               （4）
       公式（4）是偏差關系的普遍形式。
       偏差關系用于測量計量領域，x是測得值，x_o是真值, Δx是測得值x的誤差元；y是測得值，y_o是真值，Δy是測得值y的誤差元；f(x,y)是測量儀器測得值或是間接測量被測量的測得值，簡稱函數值，f(x_o,y_o) 是函數的真值，Δf=f(x,y)-f(x_o,y_o) 是函數的誤差元。
       函數的誤差元，是各個變量的誤差元的函數。稱為誤差的函數關系。
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       思考題1  為什么能說f(x_o,y_o)是真值？
       思考題2  劉彥剛發(fā)表在《中國計量》的一篇文章中，設f(x_o,y_o)為f(0)，這違反了誤差理論成立的一個基本前提。這個前提是什么？
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（三）測量中，誤差量的函數關系，大多數是線性的
       對量值函數的泰勒展開，有一階量和高階量，在通常的情況下，不知道變化量與量值本身的比例關系，通常不便于一概地忽略高階項。
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       測量，有一個基本前提，那就是：有效的測量，必須保證量值誤差遠遠小于被測量本身的量值。農貿市場上批發(fā)蘿卜的菜農，懂得：有人買一個蘿卜，不能用他那放在蘿卜車前的量程為500kg的“大臺秤”，而要到小攤販那里借用量程小的“案秤”來量。可惜，如今的不確定度體系，竟大談“量值與誤差量差不多怎么辦”。竟然推出“蒙特卡羅法”，測它兩萬次！真是蒙人。換個量程小的量具就可解決的問題，卻要繞那么大的彎兒，卻又走不通。何其笨也！
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       有效的測量，誤差范圍不能大于被測量的5%.儀器量程的主要部分都能達到這一點。用引用誤差表達的測量儀器，量程10%以下的部分不好用。要換量程小的儀器。
       精密儀器，通常指標都優(yōu)于1%. 而誤差的誤差，小于10%即可略。因此，函數的泰勒展開式的首項誤差項以后的項都可忽略。
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       函數本身，可能是線性函數，也可能是非線性函數。實際工作中，非線性函數占主要地位，是大多數。但泰勒展開式兩邊同時減去真值（f(xo,yo)）,就變成函數誤差（總誤差）的表達式，由于誤差量遠小于量值本身，如果表達式中，有一階量的話，此時二階以上量可以忽略，于是總誤差就是分項誤差的線性函數。如果表達式中的最低階不是一階而是二階量，則二階留用，高階可略。這就談不上是“線性”了。
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       總之，誤差理論成立的前提是誤差量遠小于被測量（5%以下）。而對量值的函數關系，沒有要求。誤差理論同微分原理一樣，適合于任何函數形式的量值。而誤差函數，多數為線性，但也有首項就是二階量的。因此，也不宜泛泛的談線性。
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（四）兩類函數的混淆
       代號為《JJF1059.1-1012》的國家計量規(guī)范，名稱是《不確定度的評定與表示》.
       其中:
       1 范圍
       d）本規(guī)范主要適用于以下條件：
       3）測量模型為線性模型，可以轉化為線性模型或可用線性模型近似的模型。
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       這里的“測量模型為線性模型”講得含混，沒有指明是“量值函數是線性的”還是“誤差函數是線性的”。
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       本樓主貼，吳下阿蒙先生問：
       “1059.1 主要適用于線性函數如何理解？”
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       此問題的本身，就是沒有分清“測量函數是線性的”與“誤差函數是線性的”是有原則區(qū)別的。
       如果一種規(guī)范，一種理論僅適用于“測量函數是線性的”，而現實的大多數情況，“測量函數是非線性的”，那就等于說這種理論、這種規(guī)范沒有用處。這相當于該規(guī)范的自我否定。1059.1 的起草者們，不會這樣說。因此，把含混的“模型”改為函數，“測量模型”改為“誤差函數”，全話改為“適用于誤差函數是線性的”，就不會有誤解了。但也不行，有特例，不該有這種要求。
       不確定度體系的出世理由是“真值不可知”“誤差不可求”，不能用“誤差”的語言說事。而不確定度是個集合概念，沒有自己的元素（偷用誤差元又不能明說），于是就形成“一鍋混沌”，吳下阿蒙先生弄不明白，是必然的。
       劉彥剛先生在《中國計量》上發(fā)表文章，指出《JJF1059.1-2012》要求過分，勇氣可嘉。但并沒指出根本性問題：“量值函數線性”與《誤差函數線性》二者的區(qū)別與聯系；沒有指明要求“量值函數線性”是錯誤的，不符合大多數情況；而要求《誤差函數線性》大多數情況可以，但不全面，有特例，因而不該有這種要求。
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       不談“線性”，沒問題；要求“線性”，出歧義惹是非。
      《JJF1059》是宣揚不確定度的。由于不確定度體系弊病多多，《JJF1059》也就經不得推敲。
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學習下                                                  

我覺得，這里僅是一般而談的線性。
線性大多在測量模型章節(jié)，而測量模型大多是從數學模型引入的。所以這里的線性，主要是指數學模型的線性模型。
線性我說實話不好找定義，但是從字面意思來說也可以：用幾何形式表示話來說，函數圖像是一條線。再簡單地說：特性似線，故名線性。
所以，肯定是連續(xù)的是線性的，離散的就不是，點都散了，怎么成線啊。
自反饋的大多也不是，因為你怎么畫這條線？迭代的，很多也不是，因為迭代的很多就有自反饋。
還有一些很奇怪的函數。
線性與否，主要是說模型。他是理論的。模型只是一個對現實世界的模擬。模擬不是很精確的，如果準確度不夠，就要換模型。
所以你說歐姆定律是線性模型么？是
但是你說電阻是線性的么？嗯，理論上歐姆定律說其線性，但是實際不存在，但是有線性好的電阻，這個時候用歐姆定律就行了。
線性不好的咋辦？要計算就要把環(huán)境的模型引入了。
如果電阻本身起熱又影響溫度了怎么辦？
這就是自反饋了，那就產生非線性模型了......
諸如此類。但是簡單的看歐姆定律模型本身，他是線性的。

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-24 17:02
您的意思是，誤差函數的關系式的一般形式為A=B-C,即線性函數，在線性函數中y = a + bx   ，這個a和b都必 ...

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       歐姆定律公式的基本形式是：
                  I=V/R                                                                            （1）
       公式（1）表明電路中三大基本量之間的關系。在測量學中，是用儀器測量出三個量中的兩個量，求第三量。
       由測知的電壓、電流求電阻，根據基本公式（1），導出公式為：
                 R=V/I                                                                             （2）
       公式（2）表明的是量值的函數關系。（2）式是物理公式，其中的量都是真值。
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       把物理公式（2）中的量加腳標M，于是（2）式變成計值公式：
                 R_M = V_M/I_M                                                                    （3）
      （3）式減（2）式，就是電阻的測得值減電阻的真值R，就是求電阻的誤差.
                 R_M – R = V_M / I_M – V/I                                                    （4）
      （4）式左邊除以R,右邊除以V/I
                 (R_M–R)/R = (V_M/V)(I/I_M)- 1
                 ΔR/R = (V+ΔV)/V [I/(I+ΔI) ] -1
                 δR = (1+δV)[1/(1+δI)] -1
                 δR = 1+δV- δI-1
                 δR = δV- δI                                                                       （5）
       公式（5）是誤差量之間的關系。電阻的誤差，是電壓的測量誤差與電流的測量誤差的函數。            
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       以上用微差法，顯得啰嗦，但物理意義清晰，體現誤差的定義與本質。學過微分學、泰勒展開，就要用。注意，理解物理公式的量是真值，原來公式是真值的公式；測量使量值改變，改變量就是測量的誤差。
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       量值的函數關系：
                 R=V/I                                                                              （2）
       加腳標o表示未受測量影響的客觀量值，即真值
                 R_o=V_o/I_o                                                                        （6）            

        對函數R進行泰勒展開
                   R(V,I) = R(V_o,I_o) + (?R/?V)ΔV+ (?R/?I)ΔI
                           = R(V_o,I_o) + (1/I_o) ΔV – (V_o /I_o²) ΔI
                   R(V,I) - R(V_o,I_o) = (1/I_o) ΔV – (V_o /I_o²) ΔI
                   ΔR = (1/I_o) ΔV – (V_o /I_o²) ΔI                                           （7）
       （7）式是絕對誤差形式的誤差函數。
                   ΔR/R_o= ΔV/V_o– ΔI/I_o
                   δR = δV – δI                                                                    （8）
       （8）式是相對誤差形式的誤差函數。
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       誤差定義為測得值與真值之差。標準量必須是真值，這樣才能有確定的誤差概念，才能建立誤差理論。如今，VIM定義誤差為測得值減參考值，參考值可能有多種，這就搞亂了誤差理論。
       測知誤差，可以用不同的標準。標準有誤差，這樣確定的誤差值就有誤差。但誤差的誤差必須可以忽略。
       我所指的誤差，都是以真值為標準的。
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史錦順 發(fā)表于 2017-4-24 11:03
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                                              兩類線性-
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您的意思是，誤差函數的關系式的一般形式為A=B-C,即線性函數，在線性函數中y = a + bx   ，這個a和b都必須是常數嘛？我舉個例子，以電壓電流法測一個電阻的阻值，量值函數為R=U/I，明顯的非線性函數，誤差函數是A=R1-U/I？這是線性函數嘛？您指的誤差函數是什么樣的函數？誤差理論中誤差為測試值和真值的差，校準/檢定證書中的誤差為測試值和標稱值的差，您指的應該是后者吧？即例中誤差函數是A=R1-U/I中的R1為電阻的標稱值？

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-4-19 16:45
額。。。。正態(tài)分布，三角分布，矩形分布和線性函數應該沒有半點關系的吧。。。這么說，有點不負責任哦= ...

這個我也說不清楚，我數學不好，只是好像記得聽課的時候老師說檢定規(guī)程的函數關系只要當作線性的，用1059.1來處理沒有問題。

zeroline 發(fā)表于 2017-4-19 16:01
1059.1是針對具有線性的函數的，我的理解是1059.1里面的什么正態(tài)分布，三角分布，矩形分布等的。你的函數符 ...

分布指的是隨便變量的分布，線性與否是模型的數學公式，兩碼事。比如y=a+b，這個是線性模型，其中a和b是隨機變量，可能服從某種分布

連乘連除的函數也可以當作線性的處理，因為取ln后就是只有加減的關系了，1059里有這個介紹的，用相對不確定度來計算合成標準不確定度

zeroline 發(fā)表于 2017-4-19 16:01
1059.1是針對具有線性的函數的，我的理解是1059.1里面的什么正態(tài)分布，三角分布，矩形分布等的。你的函數符 ...

額。。。。正態(tài)分布，三角分布，矩形分布和線性函數應該沒有半點關系的吧。。。這么說，有點不負責任哦=。=！

1059.1是針對具有線性的函數的，我的理解是1059.1里面的什么正態(tài)分布，三角分布，矩形分布等的。你的函數符合這些就是線性的，呵呵，至于函數符合不符合我就不知道了。但是計量檢定規(guī)程的函數一定都是線性的，據說這是專家寫的規(guī)程，已經經過認證，所以你就放心的用吧。還有1059.2蒙特卡洛法就是針對非線性的函數來評定不確定度的，具體也說不清楚，反正大概就是這樣。

劉彥剛 發(fā)表于 2017-4-14 03:08

謝謝了。。又得補知識了。。。受傷的是，之前很多模型都評錯了=。=！更受傷的事，竟然沒人發(fā)現=。=囧。。。

這個問題本論壇以前有主題討論過，可以搜一下

大家好大家好大家好