誤差不可算嗎？——五論不確定度論

              誤差不可算嗎？——五論不確定度論

                                                                     史錦順

   “誤差是理想值”，“誤差不可算”，這都是不確定度論的命題。不確定度論貶低誤差論，目的是要占領陣地。

真值是客觀存在，誤差也是客觀存在。誤差范圍是可以計算的。

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一 經典計量學的作法

近代三百多年來計量業的作法，從秦始皇統一度量衡兩千年來，我國計量行業的作法，就是以計量標準的標稱值當真值，來測量和確定測量儀器的誤差。

計量標準的誤差用上一級標準確定，并一級一級上溯至基準。

這樣做，確定的誤差范圍有誤差。得到的是誤差范圍的實驗值。誤差范圍的實驗值比誤差范圍（有人稱其為真誤差范圍）略小。總的來說，這樣做，是可行的、實用的、也是正確的。這樣做的理論基礎是等量代換原理與微小誤差準則。

誠然，這樣做是有缺欠的。估小了誤差范圍，是有風險的。這是經典誤差理論不足的地方。

筆者反對不確定度論，理由是它根本錯誤。不過本人認為不確定度論能夠誕生、能夠傳播，正是誤差理論的不足為它提供了便利。假定三十年前有“誤差方程”，也許不需要像今天這樣費口舌。

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二 誤差方程的計算法

誤差定義為測得值與被測量真值之差，既通俗又確切。這是誤差的物理意義。然而用標準的標稱值當真值，實測的誤差值是誤差的實驗值，怎樣從誤差的實驗值算出誤差值（或叫真誤差值），這要靠“誤差方程”。(第12評已有。為強調該公式的重要，也為網友閱讀方便，修訂重寫如下。)

1 誤差方程的推導

M表示測得值，Z表示真值。Z(N).表示N級標準的真值，M(N)為N級標準儀器的測得值。B(N)為N級標準的標稱值。r表示誤差元，R表誤差范圍。

（1）檢驗測量儀器誤差`，要用N級標準測量儀器或N級標準器。

A 用被檢測量儀器和N級標準測量儀器同測一量（其真值為Z），被檢測量儀器測得值為M，N級標準測量儀器測得值為M(N)。

           M – Z = M – M(N) + M(N) – Z

           r = r(實驗) + R(N)

操作時，使差別最大；或綜合估計最大值，得誤差范圍。（下同。）

          R = R(實驗) + R(N)                                                                                （1）

B 用被檢測量儀器測量N級標準器，其標稱值B(N)、真值Z(N)

         M – Z(N)= M – B(N) + B(N) – Z(N)

         R = R(實驗) + R(N)                                                                                 （1）

（接下樓）

接 1#

（2） 檢驗N級標準測量儀器的誤差或檢驗N級標準器的誤差，要用N-1級標準測量儀器或N-1級標準器。

A 測同一量，N級標準測量儀器測得值為M(N)，N-1級測量儀器測得值為M(N-1)

            M(N) – Z = M(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z

            R = R(N實驗) + R(N-1)                                                                               （2）

B 用N級標準測量儀器測量N-1級標準器，其標稱值B(N-1)、真值Z(N-1)

           M(N) – Z(N-1) = M(N) – B(N-1) + B(N-1) – Z(N-1)

           R(N) = R(N實驗) + R(N-1)                                                                           （2）

C 測量N級標準器的誤差，要用N-1級標準測量儀器來測它

          B(N) – Z(N) = B(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z(N)

          R(N) = R(N實驗) + R(N-1)                                                                             （2）

（3）同理可知

          R(N-1) = R(N-1實驗) + R(N-2)                                                                       （3）

          R(N-2) = R(N-2實驗) + R(N-3)                                                                       （4）

     ……

          R(2) = R(2實驗) + R(1);                                                                                    （5）

          R(1) = R(1實驗) + R(0)                                                                                     （6）

R0是基準誤差，由基準給出。

以上各式逐一寫出，并用后式代替前式的最后一項，有

         R = R(實驗) + R(N)

         R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1)

         R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2)

         R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2實驗) + R(N-3)

接 2#

以下再代換掉R(N-3)……，最后成為

                 R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2實驗) + ……+ R(2實驗) + R(1實驗) + R(0)

量值傳遞關系決定的級間誤差范圍之比值（上一級比下一級）為系數q，將以上各級誤差實驗值表為R(N實驗)的倍數（^表乘方，*表相乘）

                 R = R(實驗) + R(N實驗) + qR(N實驗) +q^2 *R(N實驗) +……
                             + q^(N-2)*R(N實驗) + q^(N-1)*R(N實驗) +q^N *R(N實驗)

第2項以后把公因子R(N實驗)提出，成為首項為1，比值為q的N+1項的等比級數，

             R = R(實驗) + R(N實驗) [ 1+ q + q^2 +……+ q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ]

等比級數求和，略去q的高階項q^(N+1)。

結果為

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             R = R(實驗) + R(N實驗)/(1-q)                                             (7)

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測量儀器誤差應納入系列（或優于），即有R(N實驗)=qR(實驗)，代入得

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             R = R(實驗) /(1-q)                                                                  (8)

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(7)(8)就是誤差方程。R(實驗)可測量，q為已知量，故可算出誤差范圍。

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2 誤差方程計算的例

因子計算

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      q                     1/10                 1/5                   1/4                 1/3                 1/2

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       1/(1-q)                  1.11                1.25                 1.33               1.50               2.00

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值得注意的是誤差范圍實驗值對誤差范圍（真誤差范圍）的相對差

                [R(實驗) – R] / R =R(實驗) / R – 1 = - q

q為1/10, 用誤差的實驗值代表誤差值，表達的相對差-10%，大致可以；q為1/3, 誤差的實驗值相對差已達-33%，該認真計算了。

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三 誤差方程的意義

推導中每步都用真值，但結果中不包含真值，實現了用標準值對真值的代換。

誤差方程完成的是上級標準值的功效到真值功效的過渡。

誤差方程實現了從誤差實驗值到誤差（即真誤差）的計算。

有了誤差方程，可以解除對誤差理論的疑慮了。誤差方程將在計量、定標各種場合廣泛發揮作用。

誤差方程出世了，誤差范圍（真誤差的范圍）可以計算了；不確定度論的“誤差不可計算”一說，該住嘴了。

史老師獨樹一幟

學習老先生了

根據誤差方程出來的，只能作為參考，因為它是在理想情況下得出的

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