本帖最后由 史錦順 于 2014-2-3 07:32 編輯
測量的隨機偏差公式
——測量計量基本概念(13) 史錦順 - （一）隨機偏差的偏差范圍公式 以下討論隨機偏差的合成。設(shè)被測量是一個大常量疊加一個小變量，這個小變量稱隨機偏差，量的隨機偏差記為r(量)，測量儀器的隨機誤差記為r(儀)，量值測量結(jié)果的隨機變化記為r(測)。統(tǒng)一稱為偏差元r(量)、r(儀)、r(測)，它們的基本關(guān)系是： r(測)= r(量) + r(儀) （1） （1）式是基本物理公式，是構(gòu)成式（見附錄）。 定理： 大量采樣的條件下，二獨立隨機變量和的σ的平方，等于二量中每個量的σ平方的和。 偏差元關(guān)系： r(測)= r(量) + r(儀) （1） 方差關(guān)系： σ(測)^2 = σ(量)^2 +σ(儀)^2 （2） - 證明 測量N次。第i次測量為 r(測i)= r(量i) + r(儀i) （3） 對（3）式兩端平方求和取極限 D r(測i)^2 = D [r(量i) + r(儀i)]^2 （4） （4）左端為r(測)的定義方差，當(dāng)N為有限值時，就是采樣方差σ(測)^2.（通常所簡稱的方差。） （4）式的右端為： 右 = Lim(N→∞)∑(1/N)[r(量i) + r(儀i)]^2 = Lim(N→∞)∑(1/N) [r(量i)^2 + 2 r(量i)r(儀i) + r(儀i)^2] = Lim(N→∞) (1/N)∑r(量i)^2 + 2(1/N)Lim(N→∞)∑[r(量i)r(儀j)] + Lim(N→∞) (1/N)∑r(儀i)^2 （5） （5）式的第二項是交叉乘積項，被測量的變化與儀器自身因素的變化量，它們是相互不相關(guān)的，是各自獨立的。此交叉項有正有負(fù)，正負(fù)幾率相等，大量交叉項相加結(jié)果相互抵消，當(dāng)N趨于無窮時，第二項的極限是零。當(dāng)N有限時，只要N足夠大，則第二項即交叉項的值可以忽略。于是，當(dāng)N足夠大而為有限值時，有方差關(guān)系 σ(測)^2 = σ(量)^2 +σ(儀)^2 （2） 即公式（2）成立，證畢。 - （二）隨機偏差公式可能的錯誤 1 將誤差元構(gòu)成公式移項 r(量) = r(測)―r(儀) （6） 由（6）式出發(fā)。測量N次。第i次測量為 r(量i) = r(測i) - r(儀i) （7） 對（7）式兩端平方求和，取極限 Lim(N→∞)∑(1/N)r(量i)^2=Lim(N→∞)∑(1/N)[r(測i)+r(儀i)]^2 （8） （8）左端為r(量)的定義方差，當(dāng)N為有限值時，去掉取極限符號就是采樣方差σ(量)^2. （8）式的右端為： 右 = Lim(N→∞)∑(1/N)[r(測i) + r(儀i)]^2 = Lim(N→∞)∑(1/N) [r(測i)^2 - 2 r(測i)r(儀i) + r(儀i)^2] = Lim(N→∞) (1/N)∑r(測i)^2 + 2(1/N)Lim(N→∞)∑[r(測i)r(儀i)] + Lim(N→∞) (1/N)∑r(儀i)^2 （9） （9）右端第一項 (1/N)∑r(量i)^2是被測量值的方差σ(量)^2。 （9）右端第三項 (1/N)∑r(儀i)^2是儀器的方差σ(儀)^2。 如果認(rèn)為（9）第二項2(1/N)∑[r(量i)r(儀i)]（交叉項）可以忽略，則可得出 σ(量)^2 = σ(測)^2 +σ(儀)^2 （10） （10）是錯誤公式。原因是交叉項不能忽略。r(測i)與r(儀i)不但不是相互獨立，而且是相互強相關(guān)，是正相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)是+1。乘積項r(測i)r(儀i)必為正值。此乘積項不可忽略。從公式推導(dǎo)的邏輯來說，（6）式不是物理公式的構(gòu)成式，不能做為推導(dǎo)方差關(guān)系式的基礎(chǔ)。 - 2 第2種錯誤，讀者不難補寫，此處從略。 - 附錄 關(guān)于公式（1）與相關(guān)系數(shù)的思考 設(shè)被測量為L，測得值為M，測量儀器的實際傳遞函數(shù)為K，傳遞函數(shù)的標(biāo)稱值為K(O) M = K/K(O)L M(O)+Δ(測) = [1 +Δ(儀)][L(0)+ Δ(量)] Δ(測) = Δ(儀) + Δ(量) 測得值的改變量與測量儀器傳遞函數(shù)的改變量正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為+1。 測得值的改變量與被測量的改變量正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為+1。 - | 
收藏
贊
踩
閩公網(wǎng)安備 35020602000072號