史氏測(cè)量計(jì)量學(xué)說(6) ——第5章 誤差范圍與誤差合成

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                           史氏測(cè)量計(jì)量學(xué)說(6)          
                                                  ——第5章 誤差范圍與誤差合成            
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                                                                                                                                   史錦順          
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（一）誤差量的特點(diǎn)      
       誤差，表明測(cè)得值與實(shí)際值（被測(cè)量的真值）的差距。誤差是個(gè)泛指的概念，包括誤差元與誤差范圍兩個(gè)概念。
       誤差元等于測(cè)得值減真值。誤差元是誤差概念的基本單元，表明誤差的物理意義與計(jì)算方法，是誤差理論的基礎(chǔ)。但對(duì)一項(xiàng)測(cè)量計(jì)量的表達(dá)對(duì)象，誤差元是可正可負(fù)、有大有小的量，不便直接表達(dá)與應(yīng)用。
       誤差量的特點(diǎn)是它的上限性。取誤差元的絕對(duì)值，就去掉了誤差元的正負(fù)號(hào)；取誤差元的絕對(duì)值的一定概率（99%）意義下的最大可能值，就把誤差元的多個(gè)可能值，變成了一個(gè)值，這個(gè)值就是誤差范圍。
       誤差范圍體現(xiàn)了誤差量的特點(diǎn)，簡(jiǎn)單、夠用；它被應(yīng)用于研制、計(jì)量、測(cè)量三大場(chǎng)合。研制是用計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)與物理機(jī)制建立儀器的誤差范圍；計(jì)量靠計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)、公證儀器的誤差范圍；測(cè)量是利用誤差范圍。人們用經(jīng)過計(jì)量合格的測(cè)量?jī)x器進(jìn)行測(cè)量，在得到測(cè)得值的同時(shí)，知道了該測(cè)得值的誤差范圍不超過測(cè)量?jī)x器誤差范圍的指標(biāo)值，只要測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)滿足要求，人們就得到了夠格的測(cè)量結(jié)果，達(dá)到了測(cè)量的目的。
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        將誤差元變成誤差范圍，稱為誤差合成。誤差合成的任務(wù)就是兩條：去掉諸誤差元的正負(fù)號(hào)；找到諸誤差元共同作用產(chǎn)生的總誤差元的絕對(duì)值的最大可能值。
       一般量的特點(diǎn)是“雙限性”，就是不能過大，也不能過小。而誤差量不同，對(duì)誤差量的要求是不能過大，而越小越好。這是誤差量的“上限性”。因?yàn)檎`差元有正有負(fù)，所謂誤差大、誤差小，是只論絕對(duì)值，而不管正負(fù)號(hào)。
       考慮、選取誤差合成的方案，特別要注意誤差量的上限性。本書基于誤差量“上限性”的特點(diǎn)，提出“取絕對(duì)和好”的判斷。
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（二）誤差范圍與兩個(gè)區(qū)間        
       通常的函數(shù)關(guān)系，是函數(shù)與自變量一一對(duì)應(yīng)。測(cè)量計(jì)量理論的函數(shù)關(guān)系，卻是一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)的一個(gè)區(qū)間。誤差范圍是函數(shù)區(qū)間的半寬。
       誤差元等于測(cè)得值減真值；誤差范圍是誤差元的絕對(duì)值的一定概率意義下的最大可能值。有這兩個(gè)定義，第4章推導(dǎo)了兩個(gè)區(qū)間的公式。
       研制、計(jì)量中用的測(cè)得值區(qū)間為：
                     Z-R ≤ M ≤ Z+R                                                                             （4.9）
       Z是被測(cè)量的量值（真值），M是測(cè)得值，R是誤差范圍。
       測(cè)量中用的被測(cè)量量值區(qū)間為：
                    M-R ≤ Z ≤ M+R                                                                            （4.15）
       以上兩個(gè)區(qū)間公式，即測(cè)得值公式與真值公式，是把誤差范圍的定義的最大值符號(hào)max去掉推導(dǎo)的結(jié)果，表明區(qū)間中全部量值點(diǎn)的關(guān)系，物理意義明確，表達(dá)完備。另有一種最常用的表達(dá)方式，那就是著眼點(diǎn)于區(qū)間邊界點(diǎn)，而得出的公式，有最簡(jiǎn)潔的形式，而實(shí)際內(nèi)容，與上二式等效。推導(dǎo)時(shí)不去掉最大值符號(hào)max，著眼點(diǎn)于區(qū)間邊界，即只用等號(hào)。
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       A 測(cè)得值區(qū)間公式      
       基本公式
                    │M – Z│max = R
       只著眼最大點(diǎn)，有
                    │M – Z│ = R                                                                                    （5.1）
       解絕對(duì)值方程（5.1）       
       當(dāng)M＞Z時(shí)，有
                    M(大)=Z+R                                                                                     （5.2）
       當(dāng)M＜Z時(shí)，有
                    M(小)=Z-R                                                                                      （5.3）
       綜合（5.2）式、（5.3）式，有
                    M = Z±R                                                                                          （5.4）
       M(大)等于區(qū)間上邊界點(diǎn)，M(小)等于區(qū)間下邊界點(diǎn)。M的整個(gè)區(qū)間為：
                    Z-R ≤ M ≤ Z+R                                                                                （4.9）
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       B 真值區(qū)間公式
       基本公式
                    │M – Z│max = R  
       只著眼最大點(diǎn)，有
                    │M – Z│ = R                                                                                     （5.1）
       解絕對(duì)值方程（5.1）
       當(dāng)M＞Z時(shí)，有
                    Z(小) = M-R                                                                                     （5.5）
       當(dāng)M＜Z時(shí)，有
                    Z(大) = M+R                                                                                    （5.6）
       綜合（5.5）式、（5.6）式，有
                    Z = M±R                                                                                           （5.7）
       Z(大)等于區(qū)間上邊界點(diǎn)，Z(小)等于區(qū)間下邊界點(diǎn)。Z的整個(gè)區(qū)間為：
                    M-R ≤ Z ≤ M+R                                                                                （4.15）
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（三） 誤差范圍的人、繩、狗模型               
       真值、測(cè)得值、誤差元與誤差范圍的關(guān)系，可以比喻為人、繩、狗的關(guān)系。
       真值比做人，測(cè)得值比做狗，誤差就是人與狗的距離。人狗的位置差，時(shí)刻在變化，但距離的最大值被繩長(zhǎng)所限制。繩長(zhǎng)比做誤差范圍，是個(gè)單一值；人與狗的距離比做誤差元，從零可變到繩的長(zhǎng)度。
       固定人的位置，狗活動(dòng)在以人為圓心、以繩長(zhǎng)為半徑的圈內(nèi)。這像研制與計(jì)量中的測(cè)得值區(qū)間。測(cè)得值區(qū)間以真值為中心、以誤差范圍為半寬。
       某時(shí)觀測(cè)到狗的位置，則人必在以狗為圓心，以繩長(zhǎng)為半徑的圈內(nèi)。這像測(cè)量中的真值區(qū)間。被測(cè)量的量值區(qū)間（真值區(qū)間）以測(cè)得值為中心、以誤差范圍為半寬。
       繩長(zhǎng)限制了人與狗的距離。知道人的位置，可以找到狗；同樣，知道狗的位置，也可以找到人。
       同一誤差范圍，貫穿于測(cè)得值區(qū)間與被測(cè)量量值區(qū)間這兩個(gè)區(qū)間中，是測(cè)得值與真值之間變換換的基礎(chǔ)。研制中，確立真值到測(cè)得值的變換；測(cè)量中，利用測(cè)得值到真值的變換。誤差范圍決定兩個(gè)變換的質(zhì)量，也就是決定測(cè)量的水平。
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       測(cè)量?jī)x器的誤差范圍，在生產(chǎn)時(shí)被造就，而在計(jì)量時(shí)，被公證。能確認(rèn)誤差范圍之值，是因?yàn)橛?jì)量中有標(biāo)準(zhǔn)。而標(biāo)準(zhǔn)之標(biāo)稱值，可視為真值。定標(biāo)時(shí)、計(jì)量時(shí)的測(cè)得值區(qū)間，是測(cè)量?jī)x器的特性，它確定了測(cè)得值對(duì)真值的關(guān)系。測(cè)量?jī)x器的這個(gè)特性，在測(cè)量中將表現(xiàn)出來，即表達(dá)測(cè)得值與真值的關(guān)系，因此可由測(cè)量中得到的測(cè)得值來確定被測(cè)量的真值。
       研制與計(jì)量中，依靠真值確認(rèn)誤差范圍；測(cè)量中由已知的誤差范圍與測(cè)得值而得知被測(cè)量的量值。測(cè)量結(jié)果是測(cè)得值加減誤差范圍，被測(cè)量的真值包含在測(cè)量結(jié)果中。
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（四）誤差范圍的重要性           
       1 誤差范圍是測(cè)量?jī)x器的測(cè)得值函數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)；
       2 誤差范圍是測(cè)量?jī)x器性能的表征；誤差范圍指標(biāo)值是測(cè)量?jī)x器水平的標(biāo)志
       3 計(jì)量是對(duì)測(cè)量?jī)x器誤差范圍的檢驗(yàn)與公證。計(jì)量的作業(yè)是求得被檢儀器的實(shí)際誤差范圍值；儀器計(jì)量合格，就是指儀器的誤差范圍的實(shí)際值不大于儀器的誤差范圍指標(biāo)值。
       4 誤差范圍是測(cè)量中真值函數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)。
       5 測(cè)得值與誤差范圍共同構(gòu)成測(cè)量結(jié)果。標(biāo)志測(cè)量水平的是誤差范圍。在滿足儀器使用條件、正確操作的條件下，測(cè)量者用測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)值，當(dāng)作測(cè)得值的誤差范圍，是合理的、冗余的代換。因此，人們選用誤差范圍指標(biāo)夠格的測(cè)量?jī)x器進(jìn)行測(cè)量，在得到測(cè)得值的同時(shí)，也知道了測(cè)得值的誤差范圍。被測(cè)量的真值包含在測(cè)量結(jié)果中。于是人們就達(dá)到了測(cè)量的目的。
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       測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)（準(zhǔn)確度），是儀器生產(chǎn)的目標(biāo)，是計(jì)量合格性判別的標(biāo)準(zhǔn)，是使用者選用儀器與表示測(cè)量結(jié)果的依據(jù)。測(cè)量?jī)x器的研制、生產(chǎn)、使用，用一個(gè)誤差范圍指標(biāo)（準(zhǔn)確度）貫穿起來，是人類社會(huì)的組織效果，是人類文明的一種體現(xiàn)。
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（五）誤差合成方法的比較            
        誤差合成，主要用于三種場(chǎng)合。研制測(cè)量?jī)x器時(shí)，依據(jù)儀器的測(cè)量方程，把構(gòu)成總誤差的各個(gè)測(cè)量因素，合成為總誤差范圍。直接測(cè)量時(shí)，依據(jù)直接測(cè)量的測(cè)量方程，把隨機(jī)誤差、各項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成為總誤差范圍。間接測(cè)量時(shí)，依據(jù)間接測(cè)量的函數(shù)關(guān)系公式，把各個(gè)直接測(cè)量的誤差范圍，合稱為總誤差范圍。
       誤差合成有三種方法。
      （1）混合法         
       歷史上，標(biāo)準(zhǔn)的研制、測(cè)量?jī)x器的研制，誤差合成大都用混合法。就是對(duì)隨機(jī)誤差與項(xiàng)目較多的小的系統(tǒng)誤差，用方和根法；而對(duì)少數(shù)幾項(xiàng)大的系統(tǒng)性誤差，用絕對(duì)和法。這是一種直觀的判斷，沒有這方面的嚴(yán)格分析。歷史證明，混合法基本可用。
      （2）方和根法         
       取各項(xiàng)平方和的根。
       各量和的平方，等于各量平方的和再加上交叉乘積項(xiàng)之和。交叉乘積項(xiàng)之和可以忽略的條件是各量獨(dú)立而不相關(guān)。隨機(jī)誤差一般可認(rèn)為是不相關(guān)的。由于測(cè)量?jī)x器不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差，而且系統(tǒng)誤差通常占主導(dǎo)地位，如何判別相關(guān)性，就是個(gè)難題。
       主張采用方和根法，是當(dāng)代的主流；但實(shí)際是一種行不通的空想。
       他們講道理時(shí)說，當(dāng)分項(xiàng)間不獨(dú)立時(shí)，要計(jì)及相關(guān)系數(shù)，要計(jì)算協(xié)方差。而計(jì)算相關(guān)系數(shù)、計(jì)算協(xié)方差，極其麻煩。怎辦？通常都是設(shè)“獨(dú)立”、“不相關(guān)”；這是掩耳盜鈴的作法。不確定度理論推廣以來，對(duì)通常的相關(guān)或部分相關(guān)的情況，都按“不相關(guān)”處理，這是錯(cuò)誤的。
       所謂用“相關(guān)系數(shù)公式判別相關(guān)性”實(shí)際是行不通的。相關(guān)系數(shù)公式僅僅對(duì)隨機(jī)誤差才成立，包含有系統(tǒng)誤差的場(chǎng)合，相關(guān)系數(shù)公式不成立。現(xiàn)有的相關(guān)系數(shù)公式對(duì)系統(tǒng)誤差的靈敏度為零。一般儀器是以系統(tǒng)誤差為主的，而相關(guān)系數(shù)又與系統(tǒng)誤差無關(guān)，這樣，所謂相關(guān)性判別，實(shí)際是沒法計(jì)算的。大量規(guī)范、文件、書籍所說的“假定不相關(guān)”，都是不符合實(shí)際的。是掩耳盜鈴。方和根法所要求的條件不成立，方法本身就沒有理論基礎(chǔ)。
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       （3）絕對(duì)和法           
       各項(xiàng)分項(xiàng)誤差，絕對(duì)值相加。
       絕對(duì)和法的優(yōu)點(diǎn)：
       1 符合誤差量上限性的特點(diǎn)，不要求條件、保險(xiǎn)。
       2 符合最基本的數(shù)學(xué)原理（數(shù)學(xué)手冊(cè)方法）。
       3 實(shí)際性能到性能指標(biāo)有余量，信譽(yù)高。
       4 好算，設(shè)計(jì)者歡迎。
       5 有余量，合格性的臨界狀態(tài)少，計(jì)量易判別。
       6 可靠，測(cè)量者歡迎。
       7 鑒定會(huì)容易通過。
       8 促進(jìn)提高儀器性能。
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（六）絕對(duì)和法的一般表達(dá)           
       絕對(duì)和法就是各項(xiàng)取絕對(duì)值后相加。
       絕對(duì)和法就是各分項(xiàng)誤差范圍（都是正值）相加。
       設(shè)測(cè)得值函數(shù)為
                    M = f(X1,X2,X3)
       泰勒展開的一階項(xiàng)是
                    ΔM = (?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3
       誤差范圍為：
                    R =│ΔM│max
                       =│(?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3│max
                       =│?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max
                       =│?f/?X1│R1 + │?f/?X2│R2 + │?f/?X3│R3
                       = R(1) + R(2) + R(3)
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（七）絕對(duì)值合成法的常用公式             
       以下公式，參照《數(shù)學(xué)手冊(cè)》（科學(xué)出版社，1980版）編寫。這是六項(xiàng)最基本的誤差范圍合成公式。可惜，這些最基本的知識(shí)，一些人，包括某些專家，竟不知道。他們?cè)鯓佑?jì)算呢？一律取方和根。不僅不確定度論如此；一些誤差理論書也如此。前面講過，取方和根法的條件“不相關(guān)”，在有系統(tǒng)誤差的條件下，相關(guān)系數(shù)公式不成立。因此，方和根法沒有理論基礎(chǔ)。
       不確定度論指謫誤差理論沒有統(tǒng)一的誤差合成方法，從而主張一律取方和根。這是一條走不通的難路、死路。

       鑒于誤差量的“上限性”的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為經(jīng)典測(cè)量理論的“絕對(duì)值合成法”，是簡(jiǎn)單的、現(xiàn)實(shí)可行的、保險(xiǎn)的；也是合理的、正確的。
       本章以數(shù)學(xué)的形式，推導(dǎo)絕對(duì)合成的公式，說明經(jīng)典方法的嚴(yán)格性、合理性。須知：誤差合成是儀器設(shè)計(jì)者、測(cè)量方案設(shè)計(jì)者自己的事，這樣做，自己方便、有利別人，是嚴(yán)于律己的做法，易懂易學(xué)、處理方便又保險(xiǎn)，何樂而不為之？也許有人說，這樣做，于己可以；要求別人，就不合理了。
       計(jì)量時(shí)，是要求別人。但是，計(jì)量靠的是標(biāo)準(zhǔn)，靠的是實(shí)測(cè)，計(jì)量對(duì)被撿對(duì)象的合格性判別，與誤差合成方法無關(guān)。
       如果某些特定場(chǎng)合，需要進(jìn)行誤差合成，最可信的方法是絕對(duì)值合成。
       本書推薦最基本的六大公式。好記，好用。
1 和的誤差公式
       定理一：二量和的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和。      
       證明
       1.1物理公式
                    C=A+B  
       1.2計(jì)值公式
       對(duì)物理公式加標(biāo)號(hào)，m表測(cè)得值（下同）
                   Cm=Am+Bm
       1.3測(cè)量方程
       聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式
                    Cm-C =Am-A+Bm-B
       1.4 誤差范圍關(guān)系
       用r表誤差元，R表誤差范圍（下同）
       由測(cè)量方程
                    r(C)=r(A)+r(B)
                    │r(C)│max=│r(A)+ r(B)│max
                                    =│r(A)│max+│r(B)│max
       誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                    R(C)=R(A)+R(B)  
       定理一得證。
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2 差的誤差公式          
       定理二：二量差的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和（不是差）。
       證明
       2.1 物理公式
                    A=C-B
       2.2 計(jì)值公式
                    Am = Cm-Bm.
       2.3 測(cè)量方程
       聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式
                    Am-A = Cm-C – (Bm-B)
       2.4 誤差范圍關(guān)系
       由測(cè)量方程
                    r(A)=r(C)-r(B)
                    │r(A)│max=│r(C)- r(B)│max
                                     =│r(C)│max+│r(B)│max
       誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                    R(A)=R(C)+R(B)  
       定理二得證。
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3 積的誤差公式                  
       定理三：二量積的相對(duì)誤差范圍，等于二量的相對(duì)誤差范圍之和。           
       證明
       3.1 物理公式
                    C = A B
       3.2 計(jì)值公式
                    Cm = Am Bm
       3.3 測(cè)量方程
       聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
                    Cm/ C = A m Bm/(A B)
       3.4 誤差范圍關(guān)系
       由測(cè)量方程
                    (C+ΔCm)/C = [(A+ΔAm)/A] [(B+ΔBm)/B]
                    1+δr(C) =[(1+δr(A))][1+δr(B)]
                    δr(C) =δr(A) +δr(B)
                   │δr(C)│max =│δr(A)│max+│δr(B)│max
       誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                    δR(C)=δR(A)+δR(B)  
    定理三得證。
-
4 商的誤差公式         
       定理四：二量相除，商的相對(duì)誤差范圍，等于二量的相對(duì)誤差范圍之和。           
       證明
       4.1 物理公式
                    A = C / B
       4.2 計(jì)值公式
                    Am = Cm / Bm
       4.3 測(cè)量方程
       聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
                    Am/ A = [Cm /Bm] B/C  
       4.4 誤差范圍關(guān)系
      由測(cè)量方程
                   (A+ΔAm)/A = [(C+ΔCm)/C] / [(B+ΔBm)/B]
                   1+δr(A) =[(1+δr(C))] / [1+δr(B)] =[(1+δr(C)] [1-δr(B)]
                   δr(A) =δr(C) -δr(B)
                   │δr(A) │max=│δr(C) -δr(B) │max =│δr(C) │max +│δr(B) │max
       誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                   δR(A)=δR(C)+δR(B)   
       定理四得證。

5 冪的誤差公式       
       定理五：A等于B的n次方，則A的誤差范圍等于B的誤差范圍的n倍。            
       證明
       5.1 物理公式
                    A =B^n  
       5.2 計(jì)值公式
                    Am = Bm^n  
       5.3測(cè)量方程
       聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
                    Am /A= Bm^n/B^n
       5.4 誤差范圍關(guān)系
       由測(cè)量方程
                    (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^n= [1+δr(B)]^n
                   1+δr(A) = 1+nδr(B)
                   δr(A) = nδr(B)
                   │δr(A) │max=│nδr(B) │max = n│δr(B) │max
       誤差元的絕對(duì)值的最大可能值是誤差范圍，故有：
                   δR(A)= nδR(B)  
       定理五得證。

6 根的誤差公式         
       定理六：A等于B的n次方根，則A的誤差范圍等于B的誤差范圍的1/n倍。            
       證明
       6.1 物理公式
                    A =B^(1/n)
       6.2 計(jì)值公式
       對(duì)物理量加標(biāo)號(hào)，m表測(cè)得值
                    Am = Bm^(1/n)
       6.3 測(cè)量方程
       聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，解得
                    Am /A= Bm^(1/n) / B^(1/n)  
       6.4 誤差范圍關(guān)系
       r表誤差元，R表誤差范圍。
                  (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^ (1/n)= [1+δr(B)]^ (1/n)
                   1+δr(A) = 1+(1/n)δr(B)
                   δr(A) = (1/n)δr(B)
                  │δr(A) │max=│(1/n)δr(B) │max = (1/n)│δr(B) │max
       故有：
                   δR(A)=(1/n)δR(B)
       定理六得證。
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史老筆耕不輟，后生拜服啊

不確定度合成，通常用的就是混合法。

285166790 發(fā)表于 2015-1-23 11:24
不確定度合成，通常用的就是混合法。

      我看過上百個(gè)不確定度評(píng)定的樣板，都是用“方和根”法合成，沒見到一個(gè)評(píng)定中用絕對(duì)值相加的。先生說“通常用的就是混合法”，不符合事實(shí)。不確定度論的基本立場(chǎng)是取方和根評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，必須用方和根，哪里會(huì)混合有“絕對(duì)和法”？不要說“通常”，在大量的不確定度樣板評(píng)定中，用混合法的例子，一個(gè)也沒有。你是不是把最大允許誤差MPEV或準(zhǔn)確度等級(jí)或誤差范圍或準(zhǔn)確度，當(dāng)成“不確定度”了？

史錦順 發(fā)表于 2015-1-23 12:08
我看過上百個(gè)不確定度評(píng)定的樣板，都是用“方和根”法合成，沒見到一個(gè)評(píng)定中用絕對(duì)值相加的。先生 ...

不確定度的合成一般分成若干部，不能光看最后一步。大多數(shù)混合合成法體現(xiàn)在其中的分項(xiàng)合成時(shí)。比如由于“重復(fù)性”和“分辨力”的不確定度是有相關(guān)性的，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)型方法，只取它們之中最大的那個(gè)：量塊的測(cè)量模型中，也要考慮到溫度和長(zhǎng)度的相關(guān)性，是要進(jìn)行處理的。JJF1059.1中這樣的案例有好幾個(gè)，所以合成方法并不是唯一的方和根，只是隱藏在不同的合成階段，而且處理方法上可能用經(jīng)驗(yàn)性方法被簡(jiǎn)化了。