評論：《JJF1001-2011》關于誤差算法的誤導

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                     評論：《JJF1001-2011》關于誤差算法的誤導
                                —— 隨機誤差與系統誤差的求法與算法         
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                                                                                                                            史錦順
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（一）誤差概念的三層含義
       誤差的概念，有三層意思：誤差元、誤差范圍，或泛指二者。“分析誤差”中的“誤差”指誤差元；“儀器誤差”中的“誤差”指誤差范圍；“誤差理論”中的“誤差”既包括誤差元也包括誤差范圍。
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1 誤差元
       誤差元定義：測得值減真值。
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       通常說：誤差等于測得值減真值，這里的“誤差”是誤差元。誤差元，可正可負。
       恒值的誤差元，稱系統誤差；隨機變化的誤差元稱為隨機誤差。系統誤差與隨機誤差，同時存在，只是比例可能不同。當系統誤差比重大時，系統誤差可以單獨表達。隨機誤差的大小、正負都隨時變化，因此隨機誤差元不能單獨表達。
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2 誤差范圍
       誤差范圍定義：誤差元的絕對值的一定概率（大于90%）意義上的最大可能值。
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       隨機誤差是統計變量。隨機誤差的分散性表征量是標準偏差σ。隨機誤差范圍是3σ（包含概率大于99%）。
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3 誤差范圍是表征量
       誤差范圍這個表征量，貫通于研制、計量、應用測量三大場合。
       誤差范圍是測量儀器的測得值函數的簡化表達，是測得值區間、被測量真值區間的特征值。
       測得值與誤差范圍構成測量結果。
       誤差范圍是計量標準、測量儀器的性能水平的標志。
       誤差范圍是測量技術、計量技術的能力水平的標志。
       誤差范圍又稱準確度、準確度等級、極限誤差、最大允許誤差等。
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（二）誤差范圍的計算
1 從隨機誤差元到隨機誤差范圍
       測量實踐中，人們易于認識隨機誤差。對常量的重復測量中，測得值的隨機變化就是隨機誤差。
       對隨機誤差，有如下定義與關系：
       1）隨機誤差元等于測得值減測得值的期望值（當無系統誤差時，期望值是真值）。隨機誤差元的期望值是零。隨機誤差元為：
                    ξi = Xi - EX                                                                       （1）
       2）標準誤差定義為
                   σ =√(1/N)∑ξi   
                     =√(1/N)∑(Xi-EX)                                                              （2）
       3）貝塞爾公式用測得值的平均值代換（2）式中的期望值，得到：
                   σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]^2}                                              （3）
       4）隨機誤差范圍
                   R(隨) = 3σ =3√(1/N)∑ξi^2
                          =√(1/N)∑(3ξi)^2                                                         （4）
       5）由公式（4），有：
                   R(隨)=3σ(ξ)= σ(3ξ)                                                             （5）
       隨機誤差元的3倍值（3ξ），其統計意義的方根值等于誤差范圍值。因此3ξ對誤差范圍的權重為1。因此3ξ在構成誤差范圍時與系統誤差的權重相同。取系統誤差的貢獻權重為1，則隨機誤差元ξ對誤差范圍的貢獻權重為1/3。        
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2 單項系統誤差元構成的誤差范圍
       系統誤差在重復性測量中是恒值。可正可負。測量儀器中的系統誤差，已定的也好，未定的也好，凡未修正的，都算。通常，只規定系統誤差的最大可能值，而且，在測量儀器的保證使用期內（或允許一年校準一次，即指標保證期為一年），該系統誤差的絕對值，不大于給定的指標值。
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       1）系統誤差單元
                   βi = EX-Z =β                                                                      （6）
       2）系統誤差范圍
                   R(系) =√[1/N]∑(βi)^2]  
                            = |β|                                                                         （7）
       系統誤差的單元是β，而系統誤差范圍是|β|。
       單個系統誤差對誤差范圍的貢獻是該系統誤差的絕對值。
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3 隨機誤差與系統誤差的合成
       兩個分項誤差，一個是隨機的，記為ξ，考慮到對誤差范圍的權重，取單元量為3ξ；一個是系統的（重復測量中不變），記為β。
       根據參考文章[1], 代入原公式（13），有
                   J =(1/N)(∑3ξiβ) / [σ(X) σ(Y)]                                               （8）
       系統誤差元是常數可以提出來，有
                   J =(1/N) (3β∑ξi) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}              （9）
       大量重復測量（例如N=20，N不得小于10）中，（9）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似為0，可以忽略。“方和根法”成立。
       因此隨機誤差與系統誤差合成的公式為
                   R =√[R(系) ^2+R(隨)^2]
                      =√[β^2 + (3σ)^2]                                                          （10）
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       由（10）可知：測量誤差等于系統誤差范圍與隨機誤差范圍的“方和根”值。
       系統誤差、隨機誤差與測量誤差間不存在“和”“差”關系。
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（三）隨機誤差范圍的求法
        隨機誤差范圍的求法簡單，公式是貝塞爾公式，古老而嚴格。
        取被測量為常量（或變化值可略），重復測量20次（不得少于10次；頻率穩定度測量，規定采樣次數是100）。將測得的系列測得值代入貝塞爾公式計算，得到單值標準偏差σ。3σ就是隨機誤差范圍。
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（四）系統誤差值的求法
4.1 測定系統誤差時的操作
       測定系統誤差的方法是用被測儀器測量計量標準。
       設標準的真值為Z，標稱值為B，儀器示值為Mi，測量N次（i從1到N）。
       1）求平均值M (平)。
       2）按貝塞爾公式求單值的σ。
       3）求平均值的σ (平)
                    σ (平) = σ /√N
       4）求測量點的系統誤差
                    r (系/視) = M(平)－B                                                        （11）
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4.2 測定系統誤差時的誤差
       系統誤差的測得值為：
                   r (系/視) = M (平)-B±分辨力誤差            
       真系統誤差（系統誤差定義值，以標準的真值為參考）
                   r(系/真) = EM-Z                                                                （12）
       則測定系統誤差時的誤差為
                   r(系/計) = r(系/視) - r(系/真)   
                             = [M(平) -B]-[EM-Z] ±分辨力誤差
                             =[M(平) -EM]-[ B-Z] ±分辨力誤差
                             =±3σ(平) ±分辨力誤差 ± R(標)                                  (13)
       測定系統誤差的誤差，由被測儀器示值的平均值的標準偏差、被測儀器分辨力誤差和計量標準的誤差合成。可能較大的誤差是隨機誤差，按“方和根法”合成。  
       測定系統誤差時的誤差范圍為
                    R (系) =√{[3σ(平)]^2 + [R(標)]^2+[分辨力誤差]^2}          （14）
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（五）評《JJF1001-2011》關于誤差計算的誤導
【條文摘抄】
VIM3的2.17條：
NOTE 3  Systematic measurement error equals measurement error minus random measurement error.
-VIM3的2.19條：
NOTE 3  Random measurement error equals measurement error minus systematic measurement error.
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《JJF1001-2011》將《VIM3》之上述條款翻譯、抄錄為：
5.4 系統誤差【VIM 2.17】
注3 系統測量誤差等于測量誤差減隨機測量誤差。
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5.6 隨機誤差【VIM 2.19】
注3 隨機誤差等于測量誤差減系統測量誤差。
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【史評】
       上面摘抄的《JJF1001》關于隨機誤差與系統誤差的計算方式，是不可行的。
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       1 抄自《VIM3》的《JJF1001》條款，是簡單的中小學觀念，只能大概地說明：系統誤差與隨機誤差共同構成測量誤差。不能用于具體計算。測量誤差是由隨機誤差與系統誤差合成的，其計算公式為：
                 R =√[R(系) ^2+R(隨)^2]
                    =√[β^2 + (3σ)^2]                                                          （10）
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       2 隨機誤差范圍的確定有直接簡單的方法；而確定系統誤差時有較大的誤差（見上節）；因此不能用“注3 隨機誤差等于測量誤差減系統測量誤差”來計算隨機誤差。因此，《JJF1001》的5.6條款的注3是誤導。
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       3 系統誤差的確定，必須在有計量標準的條件下，進行專門的測量。其公式為：
                  r (系/視) = M(平)－B                                                          （11）
       系統誤差值，既有量值大小，也有正負號；沒有計量標準是求不出的。
       根據（10）式由系統誤差與隨機誤差確定測量誤差的公式，已經將系統誤差取絕對值，因此返程計算不能恢復正負號。而且求誤差范圍是取絕對值的最大值。由（10）式返程計算系統誤差β值是行不通的，實際上沒法用、也沒人用。因此《JJF1001》的5.4條款的注3是誤導。
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      例如，某測量儀器給出的測量誤差范圍是0.5%。用戶自測隨機誤差范圍是0.3%。如果按《JJF1001》之5.4條款，系統誤差為0.2%，這是錯誤的計算（“方和根”不是加減）。就是按（10）式計算系統誤差也不行。因為0.5%是測量儀器指標值，并不是儀器誤差范圍實際值（實際值小于指標值）。如果是估計系統誤差的絕對值的上限可以；但確定系統誤差值的目的通常是給出修正值，必須知道正負號，這樣計算不行。此計算，是《JJF1001》的誤導。
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參考文章
[1] 誤差合成的“方根法”—— 測量計量理論與實務探討（1）
[2] 誤差范圍（U99）的計算—— 測量計量理論與實務探討（2）
     以上二文載文集《交叉系數是誤差合成法的依據——測量計量雜文集（5）》p40（本欄目有）
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補充內容 (2016-4-4 15:07):
（大于90%）應為（大于99%）

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