本帖最后由 史錦順 于 2017-12-31 10:00 編輯
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偏差區(qū)間的包含概率的計(jì)算
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史錦順
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1 兩類測量的兩種方差
1.1 兩類測量
對常量的測量稱為基礎(chǔ)測量。經(jīng)典誤差理論的應(yīng)用范圍是基礎(chǔ)測量。基礎(chǔ)測量的條件是被測量的變化范圍遠(yuǎn)小于測量儀器的誤差范圍。被測量有慢變化，但在測量時段內(nèi)，變化可略，也是基礎(chǔ)測量。
在基礎(chǔ)測量中，隨機(jī)變化的誤差，稱隨機(jī)誤差；在測量的時段內(nèi)為恒值的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。測量者進(jìn)行重復(fù)測量，即可認(rèn)知隨機(jī)誤差；但因測量場合沒有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，無法確定系統(tǒng)誤差。在計(jì)量場合，有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，不僅可以測知隨機(jī)誤差范圍，也可以測知系統(tǒng)誤差。隨機(jī)誤差范圍與系統(tǒng)誤差范圍，在有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的條件下，都可以通過測量來確定。
測量儀器的長期穩(wěn)定度、環(huán)境條件等的影響量，體現(xiàn)在儀器機(jī)理設(shè)計(jì)中，并經(jīng)過實(shí)踐考驗(yàn)證實(shí)，儀器方能定型生產(chǎn)。生產(chǎn)廠在給出儀器性能指標(biāo)時，是包含這部分內(nèi)容的。就是說，儀器的性能指標(biāo)，是指工作性能指標(biāo)，包括使用條件（如溫度范圍等）、指標(biāo)保證時段（通常為一年。也可給出三個月、半年、一年、三年的時段限制）。
計(jì)量只管當(dāng)時的隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差，不涉及長穩(wěn)與環(huán)境溫度。如果在長穩(wěn)與環(huán)境溫度方面出問題（非人工破壞或保管、使用不當(dāng)），責(zé)任由生產(chǎn)廠負(fù)責(zé)。
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1.2 兩種方差
在基礎(chǔ)測量中，儀器示值的隨機(jī)變化，是儀器自身的性能（外界影響也是通過儀器而體現(xiàn)出來的），與被測量無關(guān)，是儀器的隨機(jī)誤差。
測量值的方差的平方根是儀器的隨機(jī)誤差。多次測量，取平均值，可以減小隨機(jī)誤差。測量的隨機(jī)誤差范圍是3σ平。
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在統(tǒng)計(jì)測量中，儀器的誤差可略，儀器示值的隨機(jī)變化，是被測量的隨機(jī)變化引起的。
測量值的方差的平方根是被測統(tǒng)計(jì)變量的隨機(jī)偏差。多次測量，取平均值。平均值是隨機(jī)變量的最佳代表值。各個測量值都是被測統(tǒng)計(jì)變量的真值（儀器誤差可略），測量結(jié)果是平均值加減偏差范圍。以平均值為中心的、以偏差范圍（3σ）為半寬的區(qū)間，對被測統(tǒng)計(jì)變量的包含概率是99.7%.
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2 高斯正態(tài)分布的理論
2.1 有偏正態(tài)分布
高斯有偏正態(tài)分布的幾率密度函數(shù)為
p(Y) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– (Y-μ)2 / (2σ2)] （1）
2.2 無偏正態(tài)分布
令ξ = Y-μ，則
Eξ =E(Y-μ)=EY – μ=0
ξ是期望值為0的純隨機(jī)變量。
高斯無偏正態(tài)分布的幾率密度函數(shù)為
p(ξ) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– ξ2 / (2σ2)] （2）
2.3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
再令σ=1，并令x=ξ，則稱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為
p(x) = [1/√(2π)] exp [– x2 / 2] （3）
正態(tài)分布的“概率函數(shù)”為
φ(x)= [1/√(2π)]∫(-∞→x) [exp (– t2 / 2)] dt （4）
《數(shù)學(xué)手冊》（1980版）給出的是公式（3）與公式（4）的數(shù)值表。本文據(jù)此計(jì)算。
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3 正常情況下，統(tǒng)計(jì)變量偏差區(qū)間包含概率的計(jì)算
定義1 偏差
統(tǒng)計(jì)變量的量值與期望值之差。
定義2 偏差范圍
偏差范圍是偏差絕對值的一定概率意義上的最大可能值。
定義3 統(tǒng)計(jì)變量的量值區(qū)間
[M平-3σ，M平，M平+ 3σ]
用平均值代表被測的統(tǒng)計(jì)變量，是正確的，就是正常情況。所謂包含概率，就是以平均值為中心的、以偏差范圍為半寬的區(qū)間，包含各個統(tǒng)計(jì)變量的概率。
3.1 包含概率的規(guī)律
1）規(guī)律1 由概率函數(shù)定義，從-∞到k的概率是φ(k)，
p(-∞→+k) =φ(k) （5）
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2）規(guī)律2 從-∞到k的概率是φ(k)，從k到+∞的包含概率是1-φ(k)。由于分布密度函數(shù)的對稱性，從-∞到-k的包含概率與k到+∞的概率相等，都是1-φ(k)。有
從-∞到-k的包含概率為
p(-∞→-k) = 1-φ(k)
φ(-k) = 1-φ(k) （6）
3）規(guī)律3 以平均值為中心的對稱區(qū)間的包含概率
p(-k→+k) = p(-∞→+k) – p(-∞→-k )
=φ(k) -φ(-k)
=φ(k) – [1-φ(k)]
=2φ(k)-1 （7）
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3.2 包含概率的計(jì)算
3.2.1 區(qū)間 [M平-σ，M平，M平+σ] ，簡記為[-σ，+σ]
查表φ(1)=0.841345
k=1，代入公式（7），包含概率為
pσ = 2φ(1)-1=0.841345×2-1=1.68269-1
= 0.683 （8）
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3.2.2 區(qū)間 [M平-2σ，M平，M平+2σ] ，簡記為[-2σ，+2σ]
查表φ(2)=0.977250，
k=2，代入公式（7），包含概率為
p2σ= 2φ(2)-1=0.977250×2-1=1.9545-1
= 0.9545 （9）
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3.2.3 區(qū)間 [M平-3σ，M平，M平+3σ] ，簡記為[-3σ，+3σ]
查表φ(3)=0.998650
k=3，代入公式（7），包含概率為
p3σ= 2φ(3)-1=0.998650×2-1=1.9973-1
= 0.9973 （10）
以上（8）（9）（10）是以平均值為中心的正常情況，是測量計(jì)量工作者熟知的幾個重要數(shù)據(jù)。誤差理論主張取3σ為區(qū)間半寬，包含概率是99.73%；不確定度體系通常（默認(rèn)）取2σ為區(qū)間半寬，包含概率是95.45%.
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4 非正常情況，即不取平均值而取其他單值時，區(qū)間包含概率的計(jì)算
公式推導(dǎo) 設(shè)單值為Y平+ nσ , 區(qū)間半寬為kσ, 則區(qū)間為[(n-k) σ，(n+k)σ],有
K1=n-k
K2=n+k
當(dāng)K為負(fù)值時，由于概率密度函數(shù)的對稱性，從-∞到K(負(fù)值)的包含概率與-K到+∞的概率相等，都為1-φ(-K)。當(dāng)K為正值時，從-∞到K(正值)的包含概率就是φ(K)。
從-∞到K2的包含概率減去從-∞到K1的包含概率，就是所求的區(qū)間[(n-k) σ，(n+k)σ]的包含概率。
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4.1 計(jì)算公式
4.1.1 (n-k)＜0，(n+k)＞0
P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)] （11）
4.1.2 (n-k) ≥0
P=φ(n+k) -φ(n-k) （12）
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3.2 計(jì)算舉例
例1 取Y=Y平+2σ，求半寬為3σ的區(qū)間的包含概率
k=3，n=2 按公式（11）計(jì)算
P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)]
=φ(5)-[1-φ(1)]
≈φ(1)=0.841345
≈0.84
例2 取Y=Y平+2σ，求半寬為2σ的區(qū)間的包含概率
k=2，n=2 按公式（12）計(jì)算
P=φ(n+k) -φ(n-k)
=φ(4)- φ(0)
≈1-0.50
≈0.5
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例3 取Y=Y平+3σ，求半寬為3σ的區(qū)間的包含概率
k=3，n=3 按公式（6）或（7）計(jì)算
P=φ(n+k) – [1-φ(k-n)]
=φ(6) – [1-φ(0)]
=φ(0)
= 0.5
例4 取Y=Y平+3σ，求半寬為2σ的區(qū)間的包含概率
k=2，n=3 按公式（7）計(jì)算
P=φ(n+k) -φ(n-k)
=φ(5) –φ(1)
=1-0.841345
= 0.16
說明：以上φ(6)、φ(5) 、φ(4)都近似為1.
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總結(jié)
統(tǒng)計(jì)變量的分散性，是統(tǒng)計(jì)變量本身的特性，必須如實(shí)地描述、表達(dá)，不能人為地縮小。單值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，隨著測量次數(shù)增大而趨于一個常數(shù)，它是隨機(jī)變量分散性的表征量。平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ平，隨著測量次數(shù)增大而縮小，并趨于零。σ平不是隨機(jī)變量的表征量。因此，表征隨機(jī)變量的分散性，必須用σ。
用σ表達(dá)分散性，而取值必須取變量的平均值，才有通常人們熟知的“以2σ為半寬的區(qū)間的包含概率是95.45%”、“以3σ為半寬的區(qū)間的包含概率是99.73%”。如果不取平均值而取其他單值，則包含區(qū)間的概率就會大大降低，如例1到例4。就是說：
1 統(tǒng)計(jì)測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
2 量值必須取平均值。
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附錄 統(tǒng)計(jì)測量，如果取σ平，即σ除以根號N，會是什么結(jié)果
（1）由于σ平=σ/√N(yùn)，設(shè)N=25，則σ平=σ/5。此時以3σ平為半寬的區(qū)間為
[M平-3σ平，M平，M平+3σ平] （13）
因σ平=σ/5，代入（13）
[M平-0.6σ，M平，M平+0.6σ] （14）
根據(jù)公式（7）
p(-k→+k) = 2φ(k)-1
k=0.6 查表 φ(0.6)=0.725747
p(-0.6→+0.6) = 2φ(0.6)-1
= 2×0.725747 -1
=0.4515 （15）
（2）條件同上，此時以2σ平為半寬的區(qū)間為
[M平-2σ平，M平，M平+2σ平] （16）
因σ平=σ/5，代入（16）
[M平-0.4σ，M平，M平+0.4σ] （17）
根據(jù)公式（7）
p(-k→+k) = 2φ(k)-1
k=0.4 查表 φ(0.4)= 0.655422
p(-0.6→+0.6) = 2φ(0.4)-1
= 2×0.655422 -1
=0.3108 （18）
由以上計(jì)算可知，如果取σ平，以3σ平為半寬的區(qū)間，對隨機(jī)變量的包含概率是45.15%；以2σ平為半寬的區(qū)間，對隨機(jī)變量的包含概率是31.08%. 包含概率太低了！
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思考題
在基礎(chǔ)測量（常量測量）中，要取σ平，怎樣說明“包含區(qū)間”與“包含概率”的問題呢？
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