討論：誤差與偏差的異同

njlyx 發表于 2019-5-18 13:29
你這是將兩個實際不同的"量"混為一談了： "C同學的成績"與"C同學所在班級任一個同學的成績"是兩個不同的" ...

"C同學的成績"與"C同學所在班級任一個同學的成績"是兩個不同的"量"，很對，一個測量結果的誤差和其他任意一個重復測量結果的誤差也是二個不同的量，照這個邏輯，一個測量結果的誤差就屬于常量了。

關于常量是確定量還是恒定量，請翻閱概率論吧。

yeses 發表于 2019-5-19 12:09
"C同學的成績"與"C同學所在班級任一個同學的成績"是兩個不同的"量"，很對，一個測量結果的誤差和其他任 ...

沒弄明白此處的"推論"。

存異吧。

　　"C同學的成績"是一個確定對象的成績，應視為常量。"C同學所在班級任一個同學的成績"對于每一個他（她）自己而言，也是一個確定對象，因此也是常量。前者可稱為“保持不變的”系統誤差，后者可稱為“以可預見方式變化的”系統誤差，關鍵點都是直指單個被測對象。
　　但，如果“任一個同學”并不特指哪一個，而是泛指這個班級的每一個同學，作為這個班整體，每個對象就不是確定的，而是指具有統計規律的這個整體，這就是“統計量”了。此時就正如葉老師所說的，"C同學的成績"與"C同學所在班級任一個同學的成績"是兩個不同的"量"，很對，一個測量結果的誤差和其他任意一個重復測量結果的誤差也是二個不同的量。
　　一個特定被測對象的量是特定的，測量結果也是特定的，誤差就一定是一個特定的值，也就一定屬于系統誤差的性質。所以系統誤差的定義前提條件是“在重復測量中保持不變或以可預見方式變化”。正因為保持不變和可預見，測量次數也就無關緊要，即便測量一次也還是那個“保持不變”的誤差值，也還是“可以預見”的誤差值。
　　一群對象的整體作為被測量，測量結果存在于帶有分散性的區間內，所以，只有統計量才會有隨機誤差。因此，隨機誤差的定義前提條件是“在重復測量中按不可預見方式變化”，即誤差必為經多次測量且是以不可預見方式變化著的。而單個被測量的單次測量只有系統誤差而沒有隨機誤差。

               論貝塞爾公式成立的條件
                                 ——答njlyx先生
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                                                                                                                                                                                                    史錦順
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        5月12日（5層樓）njlyx 質疑∑didj≈0是否成立。我寫了個回帖，當時沒有發。因為覺得此事重大，要十分慎重。
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       njlyx在5#說
      【由于正態曲線（鐘形線）的對稱性，∑didj≈0 】？……其中的"求和"范圍(項數)有多大？如果是"無窮大"，成立；如果"足夠大"（由此"足夠大"項數樣本值"統計"出的"概率密度"已非常接近那個"鐘形曲線"---如果不做"額外"要求，此"足夠大"項數不說數千、也可能要大幾百！），大概成立； 如果項數只不過平常多見的數十項，若不要求"額外"的條件，是不能成立的！……這個"額外"條件就是:這些樣本值之間相互"獨立"---"互不相關"。……這些在"概率統計"理論中有明確論斷。】
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       先生過慮了。證明貝塞爾公式，以及我的證明：“平均值與期望值距離的公式”，都要求有“∑d_id_j的量值”這個條件。倘如先生所言，通常的測量幾十次貝塞爾公式不能成立，誤差理論與統計理論，就都沒有實際意義了。
       事實絕非如此。二百多年來，測量計量學與稍晚一些的數理統計理論，對貝塞爾公式的應用是成功的，貝塞爾公式的正確性是沒有疑問的。先生的問號，說明先生對貝塞爾公式正確性的懷疑。
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       精密測量（多次測量）的測量次數，不少于20次就可以了。一般應在30次左右（頻率穩定度要求測量100次）。至于有些人搞的測量6次是太少了。那是一些人為推行其某種統計法提倡的，而其根據又是貝塞爾公式。所謂“極差法”，由于取值過少，獲得值差別很大，除個別破壞性試驗（代價太高）外，不該應用。
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        njlyx又指出：“如果項數只不過平常多見的數十項，若不要求"額外"的條件，是不能成立的！……這個"額外"條件就是:這些樣本值之間相互"獨立"---"互不相關"。……這些在"概率統計"理論中有明確論斷。”
       當時我想計算幾個實例看看。竟然與我從前所想的截然相反。因為以前是看書記住的公式，現在實例竟然相反，十分驚奇；顧及我多次寫文章，都是“近似為零”，一筆帶過而并未細想，如今經njlyx先生點出，情況甚至比他講的更嚴重：數據越多，與零的偏離越大，……如何向人交代？老史一時驚出一身冷汗，茫茫然十多天。
       倘僅是個人錯誤，影響有限，承認錯誤也就是了。但貝塞爾公式可是測量計量學、統計學的基礎，不可或缺、不可動搖。……
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       經過一番反復思考，立基于“誤差的絕對性與上限性”法則，終于弄清：僅僅需要修改一下已知的條件的說明，而所有的結論不變。因此，貝塞爾公式正確無疑；老史最新的理論成果（平均值與期望值的距離D公式）也是成立的。D公式的提出，意義在于：統計測量僅僅需要一組測量（組數M=1，而測量次數N≥20，這恰恰與人們的實際操作一致，而與GUM的條文不同）。
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1 誤差量的特點
        誤差量的特點是其“絕對性”與“上限性”。
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2 誤差量舍棄的條件
        人們證明數學公式或物理公式，包括解方程，等號兩邊要相等，這是誰也不能違反的規律。數學公式與物理公式常常是理想公式，實踐中要加一些近似條件，變成實用公式又稱工程公式，才能應用。例如，標準方差的核心項是測量值減期望值，期望值必須測量無窮次，這沒法操作。二百年前，貝塞爾先生，把“無窮次”，變成有限次“N”,這就實用化了。
        理論公式變成實際公式，必須滿足如下條件1）夠用；2）忽略量是微小量，可以忽略；3）忽略量雖然大，但滿足變換的物理意義的特殊要求，也可以；于是條件2）變成了條件3）。本文重點闡述。
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       人們對條件1）與條件2）是很熟悉的。這條規律就是忽略的量必須是近于零的小量（與保存量相比）。
       誤差量公式的證明，與此不同。不是公式兩邊的數值相等，而是左端（總量一側），必須大于（或等于，下同）右側各分量的合成結果

       例1  A、B二量差的誤差范圍，等于A、B二量誤差范圍之和。

       定理一：二量和的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和。
       證明
       （1.1）物理公式
              Y=A+B  
       （1.2）計值公式
       對物理公式加標號，m表測得值（下同）
              Y_m=A_m+B_m
       （1.3）測量方程
       聯立物理公式與計值公式
              Y_m-Y=A_m-A+B_m-B
    （1.4）誤差范圍關系
    用r表誤差元，R表誤差范圍（下同）
    由測量方程
           r_Y=r_A+r_B
          │r_Y│_max=│r_A+ r_B│_max
                 =│r_A│_max+│r_B│_max
    誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
           R_Y=R_A+R_B  
    定理一得證。

（2）差的誤差公式
       定理二：二量差的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和（不是差）。
       證明
       （2.1）物理公式
              Y=C-B
       （2.2）計值公式
              Y_m = C_m-B_m.
       （2.3）測量方程
       聯立物理公式與計值公式
              Y_m-Y = C_m-C – (B_m-B)
       （2.4） 誤差范圍關系
       由測量方程
              r_Y=r_C-r_B                                                （1）
             │r_Y│_max=│r_C- r_B│_max                 =│r_C│_max+│r_B│_max
       誤差元的絕對值的最大可能值是誤差范圍，故有：
             R_Y=R_C+R_B
       定理二得證。

       對定理二的說明。由于r_C、r_B都是測量儀器的誤差，測量者只知道其規格為│r_C│、│r_B│。
       由（1）式可能有
       │r_Y│1 =│r_C│-│r_B│      （r_C＞r_B）                    （2）
       │r_Y│2 =│r_B│-│r_C│      （r_B＞r_C）                    （3）
       │r_Y│3 =│r_B│+│r_C│                                    （4）
       由于誤差范圍是“最大可能值”，即誤差量的上限性，取（2）（3）都可能是總結果偏小，都不允許。（4）則滿足上限性條件，是正確取值。
       由（2）（3）（4）可知
只要原式比取值式小，則取值式（4）都符合誤差范圍定義，都是成立的。 就是說，原式減取值式之差是“負值”，則取值式就是合理的、成立的。附加條件是該負值的絕對值不大于取值式（因取值是各個取樣值的平方和，通常不存在正種現象）。
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       由上分析可知，貝塞爾公式的證明中，不是要求∑di  d_j≈0，而是要求證明

                   ∑d_i d_j ＜ 0

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       貝塞爾公式的證明
       要證明
             (∑di)²  = ∑di² + ∑didj
之右端第二項可以忽略，只需要證明∑didj ＜ 0     
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       由于正態分布曲線的對稱性，有
             ∑di = Δ
            （∑di）²  = Δ²                        
             ∑di² + ∑didj = Δ²                               （5）
             ∑didj =Δ² -∑di²                                  （6）
         由于Δ²是二階小量，而∑di₂是取樣值，是大量，因此（6）式一定是個大負值。由此，∑didj必為負值。由于誤差量的上限性，所加負值可略，因此可取：
            (∑di)²  = ∑di²
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史錦順 發表于 2019-7-1 16:41
論貝塞爾公式成立的條件
                                 ——答njlyx先生
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       對25^#的一點說明

                  ∑d_i² + ∑d_id_j = Δ²                               （5）
       對（5）式，以∑d_i² 代替等式左端，就是以可容忍的顯著量，代替可略小量Δ²，這樣做，符合誤差范圍“上限性”法則，因而是可以的。也是充分的。（不是充要條件。因為代表量可取(1/K)∑d_i²）

       如果取(1/K)∑d_i²為代表量

          ∑ν_i² = ∑d_i² -(1/NK) ∑d_i²

          ∑ν_i² = [(N-1/K)/N] ∑d_i²
          [1/N] ∑d_i² = [1/(N-1/K)] ∑ν_i²

        取（N-1）與取（N-1/K）都是允許的。由于N不小于20 ，古人已選取K=1,足夠。

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史錦順 發表于 2019-7-3 08:42
對25的一點說明

                  ∑d + ∑dd= Δ                               （5）

      對關系式（1）
                  (∑d_i)² = ∑d_i²                       （1）
的理解，可以從隨機誤差（基礎測量稱誤差，而統計測量稱偏差，下同）合成的角度來想一想，就不會感到突然了。原來，（1）式竟是人們最熟悉的隨機誤差合成公式。

        d_i是隨機誤差元，共有N個。N個隨機誤差元之和（∑d_i）的誤差范圍R是多大呢？就是各個隨機誤差元的“方和根”：
                   R=√(∑d_i²)                            （2）
即
                   R² = ∑d_i²
       誤差范圍是誤差元絕對值的最大可能值。
                   R = │(∑d_i)│_max
       求絕對值的方法之一是平方后再開根（初等數學規定根式為正值）
                   R =√(∑d_i)²                              （3）
       比較（2）（3），即知
                  (∑d_i)² = ∑d_i²                           （1）
       可見，（1）式乃隨機誤差理論的常見公式。用在公式證明中，不該為怪。
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史錦順 發表于 2019-7-6 21:45
對關系式（1）
                  (∑d) = ∑d                     （1）
的理解，可以從隨機誤 ...

     如果d1~dN是"標量"，譬如，它們是一個"實數"誤差序列{d1,d2,…，dN}的各個具體"誤差"(您稱為"誤差元")，應該不存在形如(1)式的"等式"及"不等式"，無論這誤差序列{d1,d2,…，dN}是否是所謂"隨機誤差"。………有關Bessel"實驗標準偏差(校正)估計公式"推導中"認為""交叉乘積和近似為零"的"說法"，如您驗證的那樣：是不成立的【我原"以為"的那個"說法"，同樣是"想當然"了，事實并非如此！特在此認錯】。 您取"和平方值"等于"平方和"某個"分(/倍)數"的"認識"好像說的通？
      如果序列{d1,d2,…，dN}的d1~dN是有"若干分量"的"矢量"，則有形似(1)式的"不等式"("矢量和的模平方"≤"矢量模平方的和"，僅當各分"矢量"相互"正交"時取"="號)…好像就稱為"Bessel不等式"(待考)？………一個n"元素"的實數"序列"可以"對應"一個n維"矢量"……

補充內容 (2019-7-7 20:26):
說明：  此貼表述內容不確切，申明作廢！  并特此道歉！

njlyx 發表于 2019-7-7 18:03
如果d1~dN是"標量"，譬如，它們是一個"實數"誤差序列{d1,d2,…，dN}的各個具體"誤差"(您稱為"誤差元 ...

更正：【"矢量和的模平方"≤"矢量模平方的和"，僅當各分"矢量"相互"正交"時取"="號)】的說法不確切。