代換的功能-誤差與不確定度辨析（4）

                    代換的功能-誤差與不確定度辨析（4）              

                                                                                     史錦順         

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上小學學算術。算術，講數的性質及其運算。高小算術有許多難題，還分列為“還原問題”、“工程問題”、“路程問題”、“龜兔同籠問題”，等等，難學。1950年秋（春季始業），我是高二（小學六年級），得知可以用X代換未知數，列方程求解。那些原來覺得很難的題目，竟一下子變得十分容易。這大大提高了我對學習的興趣。這是我對代換的初步接觸。

    上中學學代數。中學代數，以方程為主，特點是一律以字母代換數字，講各種運算規律，簡單而普適。高中物理類似，以符號代換物理量。此后，代換就成為常規了。

上大學讀物理系。普通物理課分力學、熱學、電磁學、光學和原子物理各部分（分別由叢樹桐、章立源、趙凱華、褚圣麟等主講）。接著是四大力學：理論力學（高崇壽）、熱力學與統計物理（王竹溪）、電動力學（曹昌琪）、量子力學（曾謹言）以及固體物理（黃昆）。以上是北大物理系的物理類基礎課（此前已合并了清華大學物理系）。上述課程表明：大學物理課講物理規律，而其核心內容是物理量間的關系。物理量關系的定量表達是物理公式。物理公式是量的關系，就是量的真值間的關系。而物理量的真值是用符號來代表的，物理學到處有等量代換。

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我列出學過的基礎課，說明代換的普遍性。也順便說明，老史正規學過量子物理中的“不確定性原理”（舊譯測不準關系）。如今反對測量不確定度論，是有點功底的。十分清楚：測量不確定度論的真值不可知論以及所謂的測量不確定度，都和量子理論毫無關系。原來是一些人拉大旗當虎皮，欺世騙人。沒學過量子理論也沒學過相對論（電動力學的后半部分）的人，卻生拉硬套編瞎話。老史自信有責任、也有能力揭穿他們。

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當然，量子理論是可以自學的。不過自學相當難。我們班上有十來位從其他大學來的同年級的學生，跟班學量子力學。學完一年課程，年終考試竟無人及格。題目是有些難，但本校學生就沒有一個不及格的。我的意思是說，量子物理較難；但有一定基礎的人還是可以學懂的。我反對的是，有人學都沒學過，卻跟著瞎說；更有甚者，像美國NIST那幾個提出測量不確定度論的人，竟濫套自己不懂的東西，欺世盜名；不僅危害正常的計量秩序，還擾亂人們正常的思維邏輯，實在令人不能容忍。

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以下講測量領域中代換的功能。順便駁斥不確定度論。

（一）測量中的代換

等量代換，簡稱代換。

測量學的第一個代換是測得值代換被測量的真值。

測量的目的，是獲取準確度夠格的測得值?；蛘哒f是取得能代表被測量真值（實際值）的量值。此代表值簡稱測得值。也可以說，測量是用測得值表達（代換）被測量。

測量行為極為廣泛。測量知識與測量理論層次不同。一般測量者應知道測量有誤差，要根據測量準確度的要求去選擇測量儀器。要看儀器說明書，驗證檢定合格證。要正確使用儀器。知道儀器的基本誤差范圍（準確度），注意儀器使用條件，避免產生多余的附加誤差。

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對測量儀器或計量標準的設計者，對那些想有所創新的人，那就要認真對待測量的定義與規律。發明創造之路，就在腳下。

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    任務是測量某種量值，如何下手？

根據被測量的特定性質，從測量的要素著手。

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測量的要義第一是比較，第二是要與標準比較。如測量物體的重量（質量），比較的辦法之一是利用杠桿原理，于是有等臂比較，這就是天平，不等臂的比較有桿秤、臺秤。

比較的標準，天平是砝碼；而桿秤是秤砣。秤砣是最低檔的砝碼，過去叫五等砝碼，現在叫M3等砝碼。

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用天平如何稱重，人人皆知，不必細說。這里只是點明測量的要素：比較和標準。

    有人說，現在都用電子案秤，并沒有砝碼。其實，電子秤用的是壓力傳感器，制造廠生產秤時，已把重力對傳感器的作用函數，記錄于秤中。定標時的比較是在特定重力加速度下用砝碼進行的，若在高山上稱重，有高度修正表。因此，電子秤仍是被測物的質量（重量）與砝碼的比較。（《新概念測量計量學》中有高準確度測頻、測距、測速等實例。）

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更簡潔點說，或者更本質地說，測量是等量代換。

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    等量代換一語，道破幾個思路要點。

    1要找一個等式，把被測量與已知量聯系起來。（有些書上說測量要依據物理原理。其實，核心就是等式。）

2 必須用合適的標準。標準是測量的核心。也可以把標準的作用函數記錄下來。

3 測量是比較過程，可以是直接比較，也可以是間接比較。

總括地說：測量是用標準量來代換待測量；或者說：測得值代換真值。

接 1# 史錦順 文
    （二）代換得到貝塞爾公式

    約二百年前，貝塞爾先生在他處理天體測量的誤差時，推得了貝塞爾公式。不久，被成功地引入統計理論。貝塞爾公式是測量學與統計學這兩大學問的理論基礎。

貝塞爾公式的妙處是實現理想公式的現實計算。貝塞爾公式成功的要點是什么？等量代換。

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經典測量學是常量測量。真值概念是核心。定義方差要用誤差元，而誤差元等于測得值減真值。真值本質可知，但測量者卻不知（知道就不必測量了），方差怎么算？

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貝塞爾先生想出個代換的辦法。定義測得值減測得值的平均值叫殘差，求殘差的平方和與誤差元的平方和的關系，用殘差的平方和代換掉誤差元的平方和，于是就得到貝塞爾公式。貝塞爾公式的實質是用平均值代換真值。其意義是可以實際計算。

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統計理論移植貝塞爾公式時，只是稍加變化。真值變為期望值，誤差元成為偏差元（量值減期望值）。以下，思路相同。以殘差（量值減平均值）的平方和代換掉偏差元的平方和，于是得統計學的貝塞爾公式。統計學的貝塞爾公式的實質，是用量值的平均值代換期望值。其意義是可以實際計算。

（三）代換得到測量方程

測量的對象是被測量。測量的目的是獲得準確度夠格的測得值。準確度是誤差范圍的褒稱。準確度夠格就是誤差范圍滿足測量目的的需要。

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誤差分析是計量人員的基本功。對測量儀器與計量標準的研制者，尤其重要。

誤差分析的出發點是測量方程（史錦順《新概念測量計量學第二章》）

誤差方程的第一式是物理公式，是真值的關系式；第二公式是計值公式，是理想關系的現實表達，是現實量的關系式。聯立二式，就得到測量方程。測量方程表達了現實量與理想量的關系，于是就可方便地把誤差的理想定義式，變成現實的關系式。

誤差定義中必須有真值，真值表達了誤差的物理意義；真值在求解時被代換，代換解決了誤差的實際計算。

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（四）代換得到誤差方程

誤差是以真值為參考值定義的（馬鳳鳴稱其為真誤差）。產品定型或檢定中測得的誤差是以上一級標準為參考來測定的。測得的是誤差實驗值。長期以來，計量學界以誤差實驗值當誤差（即真誤差），這略偏小，實際應用中可用，但總是個缺欠。

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   誤差方程概念的提出（史錦順《誤差方程的新概念》），完成了誤差范圍實驗值到誤差范圍的歸算。解決了用現有值（標準的標稱值）到被測量的真值與標準的真值的代換。誤差方程的推導中，用了多個真值，但最后得到的誤差方程中不出現真值。

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以真值為參考的誤差元，可求了。以真值為參考的誤差范圍，可求了。這是等量代換的功效。

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（五）代換破解測量佯謬

我在“測量佯謬破解”一文中，提到過代換的作用。這里摘錄一些。強調一下代換的重要性。

“《測量不確定度》一書的前言寫到："對于測量結果的準確性，過去長期以來系用測量值相對于被測量的誤差來表示，但由于被測量的真值是一個未知量，因此使過去的表示法產生了定量的困難。" 這段話，分量是很重的，倘如此，誤差論就失去了根基。其實，這話不是該書的見解，而是不確定度論攻擊誤差論的老生常談，GUM幾處表達過這個意思。

其實，這是個佯謬。佯謬的意思是說：所指的錯誤，實質是對的。這個佯謬對測量學來說，是很重要的，且有其世界性與歷史性，以下稱其為“測量佯謬”。

我們一經選定測量儀器，便知道了用該儀器測量的誤差范圍，用不著按定義去求誤差，就是不經測得值減真值的操作，就知道了誤差范圍。所以，“不知真值不能算誤差”這個判斷是錯誤的。

測量儀器的誤差范圍是測量儀器的基本性能指標，由設計與制造來決定，而由計量部門認可。

無論制造、檢驗或計量，都是用一般量來進行。應用測量的對象是特定量。特定量可能有千萬種，但都是可以用一般量來代換的。舉例說，一千克的大米、一千克的石頭、一千克的黃金。在重量這個量上，都是互相等效的，且它們的重量與一千克砝碼的重量是等效的。測量計量廣泛應用這個等量代換原理。用一千克砝碼校準的秤，測量任何種類一千克的物品，誤差范圍都是一樣的。因此，測量儀器以一般量的標準量確定誤差范圍，這對任何特定量都有效，因此人們不必先知被測量的真值而后求誤差，而是選定測量儀器，就知到了誤差范圍。

測量佯謬，破解了。所謂的誤差論的困難，根本就不存在。”

    以上這幾段話，從“測量操作”與“誤差確定”孰先孰后的時間順序的層面，從行業分工的層面，從一般量對特定量的代換關系的層面，來破解測量佯謬。本文又從測量中的代換、誤差分析中的代換、誤差歸算中的代換以及著名的貝塞爾公式中的代換，說明人們在使用真值概念方面的學問與技巧。不確定度論攻擊誤差理論的“真值不知，誤差不可求”的論調，不過是故意的歪曲。