合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定中相關(guān)系數(shù)的實(shí)例分析
JJF1059.1-2012《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》與JJF 1059-1999版相比，主要修訂內(nèi)容之一就是“合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定中增加了各輸入量間相關(guān)時(shí)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的估計(jì)方法，以便規(guī)范處理相關(guān)的問題”。
當(dāng)輸入量Xi明顯相關(guān)時(shí)，其合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)必須考慮協(xié)方差項(xiàng)，且需預(yù)先求得相關(guān)系數(shù)后，才能計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。本文針對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定中相關(guān)系數(shù)的計(jì)算進(jìn)行實(shí)例分析，對(duì)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算有一定的適用性。
一、不確定度傳播律和相關(guān)系數(shù)性質(zhì)
當(dāng)被測(cè)量Y由N個(gè)其它量X1，X2，…，XN通過測(cè)量函數(shù)f確定時(shí)，被測(cè)量的估計(jì)值y為：
被測(cè)量的估計(jì)值y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)按下式計(jì)算：
（1）
上式稱為不確定度傳播律，式中： r(xi, xj) u(xi) u(xj)= u(xi, xj) 是輸入量xi與xj的協(xié)方差，r(xi， xj)為輸入量xi與xj之間的相關(guān)系數(shù)。
相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)變量之間相互依賴性的度量，它等于兩個(gè)變量間的協(xié)方差除以各自方差之積的正平方根，用符號(hào)?(x, y)表示
（2）
定義的相關(guān)系數(shù)是在無限多次測(cè)量條件下的理想概念。有限次測(cè)量時(shí)相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值用r(x,y)表示，
（3）
相關(guān)系數(shù)性質(zhì)：
1）相關(guān)系數(shù)r(x ,y)= r(y ,x)∈[-1,1]；
2）當(dāng)r ＞0時(shí)，表示兩變量正相關(guān)，當(dāng)r＜0時(shí)，表示兩變量為負(fù)相關(guān)；當(dāng)|r|=1時(shí)，表示兩變量為完全線性相關(guān)，當(dāng)r=1時(shí)，稱為完全正相關(guān)（正強(qiáng)相關(guān)），而當(dāng)r =-1時(shí)，稱為完全負(fù)相關(guān)（負(fù)強(qiáng)相關(guān)）；當(dāng)r =0時(shí)，表示兩變量間無線性相關(guān)關(guān)系。
二、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算
相關(guān)系數(shù)一般可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量的方法或理論經(jīng)驗(yàn)的分析得到。即一是用同時(shí)觀測(cè)兩個(gè)量的方法確定相關(guān)系數(shù)估計(jì)值；二是當(dāng)兩個(gè)量或以上均因與同一個(gè)量有關(guān)而相關(guān)時(shí)，依據(jù)相關(guān)系數(shù)定義公式，計(jì)算相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值。
1．根據(jù)對(duì)x和y兩個(gè)量同時(shí)測(cè)量的n組測(cè)量數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值按公式(4)計(jì)算：
（4）
式中，s(x)，s(y)---為X和Y的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。
公式（4）還可以表示為：
（5）
示例1：用同一鋼卷尺測(cè)量某矩形的面積,對(duì)矩形的長（ ）和寬（d ） 各測(cè)量10次,其測(cè)量列如表1 所示。
表1 矩形長和寬的測(cè)量數(shù)據(jù)
40.1 40.2 40.0 40.1 40.1 40.0 40.1 40.1 40.2 40.1 =40.10
20.0 20.2 20.0 20.1 20.1 20.0 20.0 20.1 20.1 20.1 =20.07
矩形面積的數(shù)學(xué)模型： ，因?yàn)閷?duì)長和寬采用了同一測(cè)量儀器，則它們的估計(jì)值會(huì)出現(xiàn)相關(guān)，根據(jù)表1有 和d 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：
=0.03
所以相關(guān)系數(shù)
面積S= ? =804.81mm2
則考慮相關(guān)系數(shù) r 得：
當(dāng)不考慮相關(guān)系數(shù)r時(shí)，
從以上兩式的結(jié)果可以看出考慮相關(guān)系數(shù)與不考慮相關(guān)系數(shù)存在明顯的區(qū)別，不考慮相關(guān)系數(shù)時(shí)，明顯使評(píng)定的不確定度偏小。
2.當(dāng)兩個(gè)量均因與同一個(gè)量有關(guān)而相關(guān)時(shí)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值。假如在得到兩個(gè)輸入量的估計(jì)值xi和xj時(shí)，是使用了同一個(gè)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)、測(cè)量儀器或參考數(shù)據(jù)或采用了相同的具有相當(dāng)大不確定度的測(cè)量方法，則xi和xj兩個(gè)量均因與同一個(gè)量有關(guān)而相關(guān)。
示例2：2014年度一級(jí)注冊(cè)計(jì)量師考試《測(cè)量數(shù)據(jù)處理及計(jì)量專業(yè)實(shí)務(wù)》科目中的單項(xiàng)選擇題第26題為“用1k?的標(biāo)準(zhǔn)電阻Rs校準(zhǔn)標(biāo)稱值均為1k?的兩個(gè)電阻器，校準(zhǔn)值 , .已知標(biāo)準(zhǔn)電阻Rs的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 ，若 ，假設(shè) 、 、R1 互不相關(guān)，則R1與R2的相關(guān)系數(shù)為（ ）。
A.1.0 B.0.75 C.0.5 D.0.25 ”
[解] 1)每個(gè)電阻Ri校準(zhǔn)時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)電阻Rs比較得到比值?i，校準(zhǔn)值為：
Ri =?iRs
2) 根據(jù)不確定度傳播定律，每個(gè)Ri的標(biāo)準(zhǔn)不確定度：
u(Ri) =
式中的u(?i)對(duì)每一個(gè)校準(zhǔn)值近似相等，且?i≈1，由比較儀的不確定度為u(?i)= ， 則:
u(Ri) =
3) 任意兩個(gè)電阻校準(zhǔn)值的相關(guān)系數(shù)：
；
Ri、Rj之間協(xié)方差的估計(jì)值：
u(Ri，Rj)=
由于?i ≈?j=? ≈1，協(xié)方差u(Ri，Rj) = u2(RS)
Ri、Rj之間相關(guān)系數(shù)：
=
=
由題意知， ; 代入上式，得
=r(Ri，Rj)=0.5
本題正確選項(xiàng)為： C.0.5
分析可知， ； ； =0.5
如果 ； ≈0.990
如果 ； ≈1.000
因此當(dāng) 和
一般來說，在與校準(zhǔn)值比較時(shí)，如本示例，已校項(xiàng)的估計(jì)值間是相關(guān)的，其相關(guān)的程度取決于校準(zhǔn)過程（比對(duì)過程）引入的不確定度與參考標(biāo)準(zhǔn)的不確定度之比。僅當(dāng)與參考標(biāo)準(zhǔn)的不確定度相比，校準(zhǔn)過程（比對(duì)過程）的不確定度可以忽略不計(jì)時(shí)，相關(guān)系數(shù)等于+1，并且每個(gè)校準(zhǔn)項(xiàng)的不確定度與其參考標(biāo)準(zhǔn)的不確定度相同。
示例3：在示例2的條件中，若將R1和R2串聯(lián)成Rref =R1 +R2 =2k?的電阻，試確定串聯(lián)后的Rref =2k?電阻的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(Rref)為多少？
[解法一]1)每個(gè)電阻Ri校準(zhǔn)時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)電阻Rs比較得到比值?i，校準(zhǔn)值為：
Ri =?iRs
2) 根據(jù)不確定度傳播定律，每個(gè)Ri的標(biāo)準(zhǔn)不確定度：
u(Ri) =
式中的u(?i)對(duì)每一個(gè)校準(zhǔn)值近似相等，且?i≈1，由比較儀的不確定度為u(?i)= ， 則:
u(Ri) =
= ?
= ×0.1?
即：u(R1)=u(R2)= ×0.1?
3)根據(jù)示例2的計(jì)算結(jié)果，R1 、R2兩個(gè)電阻校準(zhǔn)值的相關(guān)系數(shù)：r(R1，R2)=0.5
4)串聯(lián)電阻Rref的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：
根據(jù)Rref的測(cè)量模型： Rref= R1 +R2
Rref的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：
uc(Rref)=
= ?
= ?≈0.25?
[解法二]由于輸出量 Rref= R1 +R2
輸入量Ri的不確定度由兩個(gè)分量構(gòu)成，其一來自標(biāo)準(zhǔn)電阻u(Rs)=0.1?,作為uc(Rref)的分量，其靈敏系數(shù)ci均為+1；其二來自校準(zhǔn)（比對(duì)）過程，已知為Rsu( )=1×103×1×10-4?=0.1?,靈敏系數(shù)也ci均為+1。
可以認(rèn)為Rref一共有4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量，其中2個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)器Rs引入的分量均為0.1?,它們之間為強(qiáng)相關(guān)，可設(shè)定r=+1，這2個(gè)0.1?取代數(shù)和合成為：0.1?+0.1?=0.2?；另2個(gè)為校準(zhǔn)過程（比對(duì)過程）引入的分量Rsu( )=1×103×1×10-4?=0.1?，主要是隨機(jī)效應(yīng)引起，可以設(shè)定彼此獨(dú)立，r=0，而按方和根合成為： ×0.1?；來源于Rs與來源于校準(zhǔn)過程彼此不相關(guān)，因而
uc(Rref)= ?= ?≈0.25?
解法二的特點(diǎn)是把相關(guān)和不相關(guān)的不確定度分量分別合成后再合成。這樣的分組合成方法，在JJF1059.1-2012的引言中就已明確：“測(cè)量不確定度能從對(duì)測(cè)量結(jié)果有影響的不確定度分量導(dǎo)出，且與這些分量怎樣分組無關(guān)，也與這些分量如何進(jìn)一步分解為下一級(jí)分量無關(guān)”。
從上述各例分析可以看出，處理合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定中的相關(guān)問題時(shí)，不應(yīng)忽視協(xié)方差項(xiàng)的影響，對(duì)協(xié)方差項(xiàng)中的相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)及計(jì)算等問題的正確處理是十分重要的。
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