測量計量三項公式的適用對象

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                               測量計量三項公式的適用對象
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                                                                                            史錦順
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       標準正態分布公式、標準偏差公式、皮爾遜相關系數公式是測量計量領域的三項重要公式。這三項公式的適用對象是隨機變量與隨機誤差。對系統誤差，這三個公式都是不適用的。
       測量儀器的誤差，通常以系統誤差為主。這是基本的事實。在系統誤差上套用僅僅適用于隨機誤差的三項公式，是歧途。當今，風行于世的不確定度體系，混淆三項公式的適用對象，這里澄清之。   
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1 正態分布的適用對象
       高斯給出的誤差概率密度函數為：
                    p(M) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– (M-μ)² / (2σ²)]                           （1）
       這就是著名的正態分布，或稱為正態分布。
       公式（3）以測得值M為自變量，測得值M與真值Z、系統誤差β相關聯，于是易于產生一種認識，就是（3）式不是隨機誤差的規律，而是誤差量的特性的表達。這種觀點有一定的道理，就是正態分布曲線的偏倚，正是系統誤差的作用。其實，就所謂“分布”來說，僅僅是隨機誤差的特性，并沒有系統誤差的作用。
       公式（3）的變量是什么？表面是測得值M，本質卻是隨機誤差ξ。
       隨機誤差元記為ξ，真值記為Z，系統誤差記為β               
                  M = Z + β +ξ
                  ξ = M – Z – β = M- μ                                                               （2）
      （2）代入（1），
                  p(ξ) = {1/ [σ√(2π)]} exp [–ξ² / (2σ²)]                                    （3）            
       由（3）式可知，正態分布規律的實質，是隨機誤差的分布規律。
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2 貝塞爾公式的適用對象
       方差定義為：
                  DX=lim(N→∞)(1/N)∑(X_i-EX)²                                              （4）
       標準偏差為：
                  σ =√[(1/N)∑(X_i-EX)²]                                                          （5）
       貝塞爾公式為：
                  σ = √[1/(N-1)∑(X_i-X_平)²]                                                     （6）
       方差定義式中有兩個極限符號，去掉外極限符號，是標準偏差；再去掉內極限符號（E相當于平均值的極限），即用平均值X_平代替期望值EX，得到便于應用的貝塞爾公式（6）。
       貝塞爾公式是測量計量學的最基本的公式。應用廣、影響大、威望高。但請注意，貝塞爾公式的應用，在時域統計中，僅限于隨機誤差。對系統誤差，貝塞爾公式無效，不能用。為什么？
       仔細分析公式（6），可知，貝塞爾公式的核心元素是差值（X_i-X_平），
                 X_i = Z+β+ξ_i
                 X_平= (1/N)∑(Z+β+ξ_i)
                    = (1/N) (NZ+Nβ+∑ξ_i)
                    = Z+β+(1/N)∑ξ_i
       有
                  X_i - X_平= (Z+β+ξi) – [Z+β+(1/N)∑ξ_i]
                           = ξ_i – ξ_平                                                                      （7）
       將（7）式代入（6）式，有：
                  σ = √[1/(N-1)∑(ξ_i – ξ_平)²]                                                    （8）
       公式（8）與公式（6）等效。公式（8）說明，貝塞爾公式是隨機誤差的公式，它不包含系統誤差β的因素，對系統誤差無效。貝塞爾公式不能應用于系統誤差。
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       實驗中，測得值X_i的位數可能很多。計算σ時，可以略去數據中的相同的大數，而只計算數據列的尾數。就是說，各數據減去同一個大常數，只用差值計算σ。
                 X_i = D+x_i
                 X_平= (1/N)∑(D+x_i)
                     = (1/N) (ND+∑x_i)
                     = D+(1/N)∑x_i
       有
                  X_i - X_平= (D+x_i) – [D+(1/N)∑x_i]
                           = x_i – x_平                                                                   （9）
       將（9）式代入（3）式，有：
                  σ = √[1/(N-1)∑(x_i – x_平)²]                                                 （10）
       公式（10）與公式（6）等效。實用中，（10）式很方便。
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       計量測量的統計是時域統計。在時域統計中，系統誤差為恒值。以上推導說明：貝塞爾公式與系統誤差無關。
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3 相關系數公式的適用對象
       相關系數公式為
                   r = [1/(N-1)][∑(X_i-X_平)(Y_i-Y_平)] / (σ_Xσ_Y)                              （11）
       作如下變換
                 X_i = Z_X+β_X+ξ_Xi
                 X_平= (1/N)∑(Z_X+β_X+ξ_Xi)
                     = (1/N) (NZ_X+Nβ_X+∑ξ_Xi)
                     = Z_X+β_X+(1/N)∑ξ_Xi
       有
                  X_i - X_平= (Z_X+β_X+ξ_Xi) – [Z_X+β_X+(1/N)∑ξ_Xi]
                          = ξ_Xi – ξ_X平                                                                   （12）
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       又
                 Y_i = Z_Y+β_Y+ξ_Yi
                 Y_平= (1/N)∑(Z_Y+β_Y+ξ_Yi)
                     = (1/N) (NZ_Y+Nβ_Y+∑ξ_Yi)
                     = Z_Y+β_Y+(1/N)∑ξ_Yi
       有
                  Y_i - Y_平= (Z_Y+β_Y+ξ_Yi) – [Z_Y+β_Y+(1/N)∑ξ_Yi]
                          = ξ_Yi – ξ_Y平                                                                 （13）
       將（12）式（13）式代入（11）式，得：
                   r = [1/(N-1)][∑(ξ_Xi – ξ_X平)(ξ_Yi – ξ_Y平)] / (σ_Xσ_Y)                （14）
       公式（14）與公式（12）等效。
       由公式（14）可知，皮爾遜相關系數系數公式，僅僅適用于隨機誤差ξ，而與系統誤差β無關。皮爾遜公式對系統誤差的靈敏度為零，因而皮爾遜公式不能用于系統誤差。
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好好學習，天天向上

對"隨機"量的理解過于狹隘了---以為"隨機"量都應該是"樣本"取值相互"獨立"的嗎？……對于有名校高等教育背景的專家而言，談"測量誤差"恐怕還是要了解一點"隨機過程"的。至于"統計"中的"貝塞爾公式"和"皮兒蓀相關系數公式"，其成立條件是假定"樣本之間相互獨立"，你若將取"樣"范圍限定在"同一個重復測量條件"內，當然只有所謂"隨機(測量)誤差"適用！但明白人不會像您以為的如此取"樣"來對所謂"系統(測量)誤差"使用這些公式！…在此問題上，"一人獨醒"可能是小概率事件。