誤差范圍區間與擴展不確定度區間基于計算的比較（續1）

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                                    誤差范圍區間與擴展不確定度區間
                                              基于計算的比較（續1）
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                                                                                                        史錦順
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       本文論題：測量場合下，間接測量的測量結果區間的比較。前文《誤差范圍區間與擴展不確定度區間基于計算的比較圖》是本文的一個特例。
       本文計算題目：一把精致銀米尺，長、寬、厚，形狀規整。測量該尺的物質密度。
      
米尺的基本數據（參數分項測量，各10次）
       測量質量M，用普通天平（MPEV 0.03%）。測得值：M_m = 8.900kg
       長度L的規格：長度的標稱值L_o= 1m，MPEV 0.03%
       測量寬度D，用數顯卡尺（MPEV 0.05%），測得值：D_m =50.00mm。
       測量厚度H，用數顯千分尺（MPEV 0.03%）。測得值：H_m =20.000mm。

1《史法測量計量學》對誤差范圍的表達
1.1 測量方程與測得值函數
       物質密度ρ的物理公式
                 ρ = 質量/體積=質量/ (長×寬×厚)
                    = M/(LDH)                                                                （1）
       物質密度ρ的計值公式（腳標o表示標稱值；腳標m表示測得值）      
                 ρ_m = M_m /(L_oD_mH_m)                                                    （2）
       測量方程為
                 ρ_m / ρ = (M_m/M) / [(L_o/L)( D_m/D)(H_m/H)]                          （3）
       測得值函數：
                 ρ_m = ρ(M_m/M) (L/L_o)(D/D_m)(H/H_m)                                    （4）
      
       注意，測得值函數中，自變量是質量測得值M_m、長度L、寬度測得值D_m、厚度測得值H_m。
       寬度實際值D、厚度實際值H、質量實際值M是物理公式中的值，是真值，是常量。長度標稱值L_o是常量(標稱值是定義值的一種形式[1]），而長度實際值L是真值，卻是變量。以往，經典誤差理論中的誤差分析，直接從物理公式出發進行微分，常常弄錯有標稱值的量的誤差元的符號。如頻率計誤差分析中的時標誤差。由于誤差量的特點是其“絕對性”與“上限性”，經典誤差理論的結果分析，沒錯。如馬鳳鳴書中直接取絕對值，不出錯。但如果要修正，或者要分析誤差因素的影響，符號問題就必須講究。誤差理論要精準，要嚴格化，不能在符號上含糊。《史法》的測量方程與測得值函數，澄清了這一點。關鍵是辨清常量與變量。微分必須對變量微分。《史法》的區分常量與變量的程序，使誤差理論的微分操作，有了嚴格的數理邏輯基礎。

1.2 求誤差元
A 差分法
       誤差元是測得值與真值之差。測得值（2）與真值（1）之差就是誤差元。這樣做，物理意義十分清晰。筆者年輕時讀文獻，不理解“為什么求微分就是求誤差”，只是模仿。臨近退休，才弄明白誤差方程這套道理。取差分，符合誤差（元）的定義。微分不過是求差的數學方法。而取微分，必須明確變量。
       差分法求密度誤差的公式為
              Δρ_m =ρ_m - ρ
                = M_m /(L_oD_mH_m) - M/(LDH)                                           （5）   
       對（5）式做近似計算，即可求誤差元。（參見《史法測量計量學》[^1]第3章。）
B 微分法
       熟悉微積分，用微分法就更方便。
       對測得值函數ρ_m（4）
             ρ_m = ρ(M_m/M) (L/L_o)(D/D_m)(H/H_m)   
做全微分，得密度函數的誤差元      
            dρ_m =ρ (?ρ_m/?M_m)dM_m+ (?ρ_m/?L)dL+ (?ρ_m/?D_m)dD_m+ (?ρ_m/?H_m)dH_m
            dρ_m = ρ(M_m / M) (L / L_o)( D / D_m)(H / H_m)[ dM_m/M_m]  
                 + ρ(M_m / M) (L / L_o)( D / D_m)(H / H_m) [ dL/L]
                 - ρ(M_m / M) (L / L_o)( D / D_m)(H / H_m) [ dD_m/D_m]
                 - ρ(M_m / M) (L / L_o)( D / D_m)(H / H_m) [ dH_m/H_m]
            dρ_m / ρ_m = dM_m/M_m+ dL/L- dD_m/D_m – dH_m/H_m
       標成相對誤差元的形式，有
             rρ_m =r_Mm + r_L - r_Dm - r_Hm                                               （6）   

1.2 誤差合成公式
       由于四項誤差（本例已知分項誤差范圍的指標值）,只有一項偏大，其他大小相近，沒有“二、三項大誤差”項，《史法》[1] 誤差合成，取各項誤差范圍的“方和根”，密度測量的誤差范圍（合成誤差元絕對值99%概率意義上的最大可能值）是：
                 Rρ= √(R_M² + R_L² + R_D² + R_H²)                                       （7）
1.3 本例具體計算
     尺體質量密度的測得值
             ρ_m = M/ L_oD_mH_m
                 =8.900kg/1000.0mm×50.00mm×20.000mm
                 = 8.900×10³ kg/m³
      密度測得值的相對誤差范圍（7）
             Rρ = √[(0.03%)² + (0.03%)² + (0.05%)² + (0.03%) ²]                 
                =0.072%
      密度測得值的絕對誤差范圍
             Δ ρ_m =8.9×10³×0.00072 kg/m³               
                 =6.4 kg/m³                                                                 （8）
       米尺質量密度的測量結果：
              ρ=(8900±6) kg/m³                                                          （9）

（未完，待續）
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——

（續前）


2 不確定度體系的計算
2.1 基本數據及分布認定
       測量質量M：普通天平（MPEV 0.03%，均勻分布）。測得值：M = 8.900kg，u_AM= 0.007%
       長度L的規格：長度的標稱值L_o = 1m，MPEV 0.03%，正態分布。
       測量寬度D：數顯卡尺（MPEV 0.05%，均勻分布）。測得值：D_m =50.00mm，u_AD= 0.01%
       測量厚度H：數顯千分尺（MPEV 0.03%，均勻分布）。測得值：H_m =20.000mm，u_AH= 0.007%

2.2 擴展系數的確定
       用單臺儀器的直接測量，直接用儀器的誤差范圍的指標值MPEV，就夠了。沒有誤差合成問題，也就沒有必要先除以根號3，再乘以k=1.7。那是將MPEV復原。似乎道理講得通，但這是沒有實際意義的折騰。（誤差理論認為：基礎測量是常量測量，儀器的隨機誤差包含在儀器指標MPEV中，不另算；不確定度體系認為測量對象可能是常量，也可能是隨機變量，不確定度評定要包括測量值的隨機變化部分。）
       不確定度體系是“方差合成”，一個關鍵問題是，多項誤差因素合成為u_C，此后擴展因子怎樣取？（《史法》是“范圍合成”不存在這個問題。）
       不確定度體系的規范，多處說明，通常要求95%的概率，可取k=2；要求99%的概率，可取k=3。但這樣做的前提是合成后誤差是正態分布。又說各項誤差是獨立的，相互之間不發生作用。取99%概率時，何以將均勻分布的那一項除以根號3，卻乘以3，竟毫無道理的擴大該項誤差的作用到1.73倍？這是把正態分布的隨機誤差的規律，錯誤地用于統計中保持恒值的系統誤差的惡果。毫無道理，是錯誤的。錯誤的分布認定，錯誤的擴展因子，只因為是把“恒值的系統誤差”當成“隨機誤差”來處理。錯誤的根源是把測量的“時域統計”錯誤地當成是“臺域統計”[2]。
       有人說：乘2乘3是不符合規矩的錯誤操作。其實不然。且看如下規范：
      《校準領域測量不確定度評估指南》（CNAS-GL09:2008）p8：
       5.2 用實驗的方式通常很難確認輸出量的估計值是否屬于正態分布。但是，在通常情況下，當幾個不確定度的分量來源于概率分布獨立的輸入量（即參量個數N≥3），如服從于正態分布或矩形分布時，則依據中心極限定理可以假設輸出量的分布接近于正態分布。
      （史注：該規范中的實例S2、S3、S4、S5、S6、S7都按“輸出量為正態分布”處理.）
       本題有誤差范圍四項，隨機誤差三項。常規的分布認定：正態分布四項，矩形分布（均勻分布）三項，求U₉₉，取k=3，符合不確定度體系作法。至于認為各項獨立，也只能如此。（不確定度體系的“分布論”、“相關系數論”本來就是多余的，并無科學根據。）
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2.3 不確定度體系的計算
       尺體密度測得值
              ρ_m = M_m / L_oD_mH_m
                 =8.900kg/1000.0mm×50.00mm×20.000mm
                 = 8.900×10³kg/m³
       合成標準不確定度
              u_C = √ {[(0.03%)/√3]² + [(0.03%)/3]² + [(0.05%)/√3]²+ [(0.03%)/√3]2                 
                    +(0.007%)²+(0.01%)²+(0.007%)²}
                 = √ [(0.0173%)²+ (0.01%)² + (0.0289%)² + (0.0173%) ²                
                    +(0.007%)²+(0.01%)²+(0.007%)²}
                 =0.042%                                                            （10）
       包含概率99%的擴展不確定度（相對值）
              U_99r = 3u_C
                  = 0.13%                                                           （11）
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2.4 不確定度體系的測量結果表達
       測得值
               y = 8.900×10³ kg/m³
       包含概率99%的區間半寬：               
               U₉₉ = 8.900×10³ kg/m³×0.13%
                  =12 kg/m³                                                           （12）
        測量結果：
                Y = (8900±12) kg/m³                                                （13）

3 史評
       拙文《論不確定度體系的公式錯誤》[2]中的區間比較圖以及前文《誤差范圍區間與擴展不確定度區間基于計算的比較圖》，畫的是單臺儀器。有人認為擴展不確定度的擴展系數的選取是不對的，因此，比較是不成立的。這樣說似乎有道理，但本質上是掩護了不確定度體系的錯誤。
       誤差合成，總是若干量的合成。因此《論不確定度體系的公式錯誤》[2]的舉例，以及前文，應看成是多個分量中的一個。乘3是常規。
       以（10）式為例，對整體乘3，本質是對各分項都乘3了。
             u_C = √ {[(0.03%)/3]² +[(0.03%)/√3]² + [(0.05%)/√3]² + [(0.03%)/√3] ²                 
                   +(0.01%)²+(0.02%)²+(0.01%)²}
3 u_C = √ { [3× (0.03%)/3]² +[3× (0.03%)/√3]² + [3× (0.05%)/√3]²
      + [3×(0.03%)/√3] ² +[3× (0.01%)]²+[3× (0.02%)²+[3× (0.01%)]²]
                 =0.042%                                                       （14）
       其中的第2項（尺長）、第5項、第6項、第7項，因為單項是正態分布，合成說得過去；但第2項、第3項、第4項都無故擴大1.73倍，是沒有道理的，是錯誤的。因是“方和根”，大項誤差（第3項）較大，自身雖然只擴大到1.73倍，因為平方和凸顯大誤差的作用，且多計了在MPEV中本已包含的隨機誤差項，竟使函數區間半寬擴大到2倍！這算什么玩意兒？不確定度體系，偽科學！
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       本人前幾次的圖解說明，本質是數項誤差合成（N≥3）中單項作用的變化，是通常情況。這是不確定度體系的本質性錯誤之一。本人說明也不夠，易于引起誤解，故另寫兩篇續文在此。在否定不確定度體系這一點上，本人并無錯誤，而表達要盡可能更嚴格，是必要的。故對csln先生表示感謝。
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       不確定度體系的龐大架構：A類不確定度、B類不確定度、合成不確定度、擴展不確定度，這一套的核心是“誤差合成”。直接測量用MPEV就夠了；間接測量必須有誤差合成。就隨機誤差來說，不確定度體系與經典誤差理論并無區別，也與統計理論一致。但系統誤差不行。測量計量的統計，是“時域統計”，而不是“臺域統計”。在單臺儀器的重復測量中，系統誤差是恒值。在間接測量中，每臺儀器各自測量不同的量，各量間，有物理公式所確定的函數關系，但系統誤差卻是各自獨立的。每種儀器的系統誤差對被測函數量的作用，是獨立的。在多次重復測量中，各項系統誤差的量值、各系統誤差間的關系，由量值的函數關系確定，是固定的；即函數的總系統誤差是恒值。函數的系統誤差既不是均勻分布，通常也不可能是標準正態分布（無偏倚值），而一般是有偏正態分布（其偏倚值是系統誤差）。因此，對系統誤差的合成量乘以不等于1的因子k是錯誤的。下文將詳述。
       直接進行“范圍合成”，簡單又正確，何不為之？

       不確定體系的測量結果區間半寬U₉₉竟是誤差理論測量結果區間R的兩倍（本例計算），孰是孰非，不值得認真研究一番嗎？
       不確定度體系錯了，且錯誤嚴重！要它何用？
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資料及說明
[1]史錦順著《史法測量計量學》，等待出版。質檢出版社在等待國家計量院的鑒別結論。其內容本人已多次在本欄目征求意見。許多網友是知道的。
[2]史錦順《論不確定度體系的公式錯誤》，本欄目中有征求意見稿。宣傳新學說與抨擊不確定度體系的文章，本人已在本欄目貼出有署名的文章513篇（已編為10集）。有意向研究的網友，告訴我你的郵箱號，我可將全部文稿和書稿都寄給你。我已八十一歲半，傳播自己的學術思想，既是義務，也是一種快樂。
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太有深度了，我得慢慢消化。

關于所謂的"系統(測量)誤差"，拎清后的"(測量)誤差理論"(如1990年代后費業泰等先生的著述)已分為"已(確)定"與"未(確)定"兩部分----對于"已(確)定系統誤差"，"間接測量"的"合成"就是"具體值代入函數運算"，不涉及什么"范圍合成"，當然也無關"概率分布形式"、"相關性"之類問題;  但對于"未(確)定系統誤差" ，人們只能"估計"它的"可能取值范圍"及相應的"概率分布形式"，"間接測量"時便涉及"可能取值范圍"的"合成"及"結果"的"概率分布形式"等問題---這些問題在"數學"(概率與統計)上不存在未明的概念問題，"線性化"理論"合成"、"蒙特卡洛"仿真"合成"都是行之有效的方法，實際應用中，各"分量"自身的"概率分布形式"、"分量"之間的"相關性"是不可回避的難題，需要可靠的"經驗"支持！

uC = √ {[(0.03%)/√3]2 + [(0.03%)/3]2 + [(0.05%)/√3]2+ [(0.03%)/√3]2                 
                    +(0.007%)2+(0.01%)2+(0.007%)2}
                 = √ [(0.0173%)2+ (0.01%)2 + (0.0289%)2 + (0.0173%) 2                 
                    +(0.007%)2+(0.01%)2+(0.007%)2}
                 =0.042%                                                            （10）
       包含概率99%的擴展不確定度（相對值）
              U99r = 3uC
                  = 0.13%                                                           （11）

0.0289/0.042=0.688

有一均勻分布的顯著項占合成標準不確定度三分之二以上，合成不確定度仍然是均勻分布，U99包含因子是1.72或1.71

　　“誤差區間范圍”與“擴展不確定度”是性質完全不同的兩個概念，無法擺在同一個平臺上相比較。
　　“誤差區間范圍”是允許的誤差變化范圍的寬度，量化反映了測量過程或測量結果準確性要求，正式術語是最大允許誤差絕對值，寫成英文縮寫就是MPEV。
　　“測量不確定度”量化反映了測量過程或測量結果的可信性，不是誤差，也不是誤差范圍。擴展不確定度只能用英文單詞的第一個字母U表示，當用小寫字母u時，代表標準不確定度。因此，擴展不確定度不能縮寫為MPEV。
　　另外，“不確定度”本身就是某個區間（人們估計得到的真值存在的可能區間）的“半寬度”，“區間半寬的區間”非常繞口，也令人費解，因此不存在“擴展不確定度區間”這個概念。

喜歡這種學術性帖子，收藏下來好好消化下

史錦順 發表于 2018-11-18 10:36
（續前）

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夢回棗鄉 發表于 2021-4-16 14:11

       2018年我的一句承諾，2021年了，我已不再兌現。我已84周歲。年老多病，請諒解。本欄目都有，自己查查吧。

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感謝史老師，健康長壽