《史法測量計(jì)量學(xué)》第3章 誤差范圍與誤差合成

                 《史法測量計(jì)量學(xué)》第3章（2020.11 上報(bào)本）

第3章 誤差范圍與誤差合成
3.1 誤差合成的三種方式
    十八世紀(jì)末，大數(shù)學(xué)家高斯奠定了隨機(jī)誤差的理論基礎(chǔ)。正態(tài)分布函數(shù)公式、最小二乘法，都是近代誤差理論的根基。同時(shí)代的貝塞爾公式，實(shí)現(xiàn)了用平均值對期望值的代換，巧妙而方便。高斯與貝塞爾，是測量計(jì)量領(lǐng)域理論的奠基人（也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的開創(chuàng)者），高斯注意到期望值對實(shí)際值的偏離，即系統(tǒng)誤差的存在，但并沒有給出像隨機(jī)誤差那樣完備的表達(dá)與處理方式。高斯的隨機(jī)誤差（隨機(jī)變量）理論，其成立條件是隨機(jī)變量。不確定度體系弄錯(cuò)了“分布”的條件與統(tǒng)計(jì)方式，“分布”被濫用，陷入死胡同。   
    經(jīng)典誤差理論對系統(tǒng)誤差直接取絕對值，合成取“絕對和”（如1980版《數(shù)學(xué)手冊》）。而隨機(jī)誤差可正可負(fù)，有相互抵消作用。對隨機(jī)誤差用統(tǒng)計(jì)方式取標(biāo)準(zhǔn)差，是正確的。但這兩種方式未能貫通。  
    不確定度體系合成的方式是“取方差”，其方針是統(tǒng)一采用“方和根法”。對隨機(jī)誤差的處理與經(jīng)典誤差理論相同，沒有問題；但對系統(tǒng)誤差取方差，陷入歧途。為實(shí)行“方和根法”，造成三大難關(guān)：1）化系統(tǒng)誤差為隨機(jī)誤差；2）認(rèn)知誤差量的分布規(guī)律；3）確定相關(guān)系數(shù)。這三關(guān)難過，此路不通。除研制場合的極少量特殊情況外，在出廠檢驗(yàn)、購貨驗(yàn)收、計(jì)量、應(yīng)用測量的各種場合，重復(fù)測量后的統(tǒng)計(jì)，都是“時(shí)域統(tǒng)計(jì)”；而不確定度體系的所謂的分布，都是“臺域統(tǒng)計(jì)”。統(tǒng)計(jì)方式的嚴(yán)重錯(cuò)誤，是不確定度體系的致命傷。被廢棄，是必然的下場。
    本書用“方根法”實(shí)現(xiàn)誤差量的絕對化。著眼于范圍，對系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差一并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理。用恒值β代表系統(tǒng)誤差元；用三倍的隨機(jī)誤差元3ξ代表隨機(jī)誤差對誤差范圍的貢獻(xiàn)元。這樣，系統(tǒng)誤差β與隨機(jī)誤差元3ξ對誤差范圍的貢獻(xiàn)權(quán)重基本相同。于是，貫通了兩類誤差合成的各種情況，公式推導(dǎo)簡潔方便。按交叉系數(shù)近于1還是近于零來確定公式，從而推導(dǎo)出“絕對和”與“方和根”兩種誤差合成法。
    新理論立足于系統(tǒng)誤差的恒值性（只要求統(tǒng)計(jì)過程中恒值），兼顧隨機(jī)誤差的抵消性以及多項(xiàng)系統(tǒng)誤差平方時(shí)各交叉項(xiàng)間的抵消性，避開“取方差”、“認(rèn)知誤差分布”和“確定相關(guān)系數(shù)”等難題。實(shí)現(xiàn)了誤差合成理論的公式化。
    由第二章的（2.7）式，知誤差元（測得值減實(shí)際值）的表達(dá)式為     
           r = y - Y = f(x_i，x_j) - f(X_i，X_j )                                        (3.1)
    （3.1）式是誤差元的表達(dá)式。求誤差范圍，就是求誤差元的絕對值的最大可能值：
              R =│r│_max = │f(x_i，x_j) - f(X_i，X_j )│_max                            （3.2）
    “史法”誤差合成的著眼點(diǎn)是范圍合成，而不是不確定度體系那樣的“方差合成”。
    初等數(shù)學(xué)規(guī)定：平方根取正值。史法誤差合成的要點(diǎn)：用“平方再開方”的操作，取最大可能值，以解誤差范圍的基本公式（3.2）。
    本書推導(dǎo)出的新的誤差合成法是：兩三項(xiàng)大系統(tǒng)誤差，取“絕對和”；其他情況，有抵消作用，取“方和根”。   

3.2 單項(xiàng)隨機(jī)誤差元構(gòu)成的誤差范圍
3.3 單項(xiàng)系統(tǒng)誤差元構(gòu)成的誤差范圍
3.4 誤差合成的理論基礎(chǔ)
3.5 交叉系數(shù)的一般表達(dá)
3.6 隨機(jī)誤差與隨機(jī)誤差的合成
3.7 隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的合成
3.8 系統(tǒng)誤差與系統(tǒng)誤差的合成
3.9 誤差合成法規(guī)則
    1）隨機(jī)誤差范圍之間，用“方和根法”。
    2）隨機(jī)誤差范圍與系統(tǒng)誤差范圍之間，用“方和根法”。
    3）有多項(xiàng)中小系統(tǒng)誤差項(xiàng)，僅有一項(xiàng)大系統(tǒng)誤差（或沒有大系統(tǒng)誤差），它們之間的交叉系數(shù)，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，這樣，可以用“方和根法”。
    4）僅有兩三項(xiàng)系統(tǒng)誤差，要用“絕對和法”。
    5）有多項(xiàng)誤差，在兩項(xiàng)或三項(xiàng)大系統(tǒng)誤差之間用“絕對和法”，再與其他項(xiàng)用“方和根法”。
    誤差合成概要：在兩項(xiàng)或三項(xiàng)大系統(tǒng)誤差間取“絕對和”，此和值再與其他各項(xiàng)一起取“方和根”。

3.10 “絕對和法”的常用公式

3.11 誤差范圍的人、繩、狗模型   
    實(shí)際值比做人，測得值比做狗，誤差就是人與狗的距離。人狗的距離，有時(shí)是定值，有時(shí)在變化，但距離的最大值被繩長所限制。繩長比做誤差范圍，是個(gè)單一值；人與狗的距離比做誤差元，從零可變到繩的長度。
    固定人的位置，狗活動在以人為圓心、以繩長為半徑的圈內(nèi)。這像研制與計(jì)量中的測得值區(qū)間。測得值區(qū)間以實(shí)際值為中心、以誤差范圍為半寬。
    某時(shí)觀測到狗的位置，則人必在以狗為圓心，以繩長為半徑的圈內(nèi)。這像測量中的實(shí)際值區(qū)間。被測量的量值區(qū)間（實(shí)際值區(qū)間）以測得值為中心、以誤差范圍為半寬。
    繩長限制了人與狗的距離。知道人的位置，可以找到狗；同樣，知道狗的位置，也可以找到人。        
    同一誤差范圍，貫通于測量的研制、計(jì)量、測量三大場合。是“測得值區(qū)間”與“被測量量值區(qū)間”的標(biāo)志量，是測得值與實(shí)際值之間變換的基礎(chǔ)。研制中，確立實(shí)際值到測得值的變換；測量中，給出測得值到實(shí)際值的變換。誤差范圍決定兩個(gè)變換的質(zhì)量，也就是決定測量的水平。

4.12 誤差范圍的重要性
    （1）誤差范圍是測量儀器的測得值函數(shù)的簡化表達(dá)。
    （2）誤差范圍是測量儀器性能的表征；誤差范圍指標(biāo)值是測量儀器水平的標(biāo)志。
    （3）計(jì)量是對測量儀器誤差范圍的檢驗(yàn)與公證。計(jì)量的作業(yè)是抽樣求得被檢儀器的實(shí)際誤差范圍值；儀器計(jì)量合格，就是指儀器的誤差范圍的實(shí)際值不大于儀器的誤差范圍指標(biāo)值。
    （4）誤差范圍是測量中實(shí)際值函數(shù)的簡化表達(dá)。
    （5）測得值與誤差范圍共同構(gòu)成測量結(jié)果。標(biāo)志測量水平的是誤差范圍。在滿足儀器使用條件、正確操作的條件下，測量者用測量儀器的誤差范圍指標(biāo)值，當(dāng)作測得值的誤差范圍，是冗余的代換，是合理的。

【說明】
3.2到3.8及3.10，因公式太多，詳見附件（第3章的完整復(fù)印件）。-
《史法測量計(jì)量學(xué)》第3章.doc (149.5 KB, 下載次數(shù): 13)

2020-11-27 08:04 上傳

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史先生高論！

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