有效數(shù)字及其運(yùn)算

有效數(shù)字及其運(yùn)算

    實(shí)驗(yàn)離不開(kāi)測(cè)量，測(cè)量是借助儀器讀取數(shù)據(jù)，測(cè)量的結(jié)果總有誤差。那么，實(shí)驗(yàn)中如何讀取數(shù)據(jù)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如何進(jìn)行運(yùn)算，才能既方便，又具有合理的準(zhǔn)確度呢?這就是有效數(shù)字及其運(yùn)算所要討論的問(wèn)題。下面將作簡(jiǎn)要介紹。
    一、有效數(shù)字的意義
    1.儀器的讀數(shù)規(guī)則
    在實(shí)驗(yàn)中，使用儀器讀取待測(cè)量的數(shù)值時(shí)，所讀取的數(shù)字的準(zhǔn)確程度直接受儀器本身的精密度——最小刻度的限制。為了獲得較好的測(cè)量結(jié)果，在讀取數(shù)字時(shí)，我們通常的作法是：首先讀出能夠從儀器上直接讀出的準(zhǔn)確數(shù)字，對(duì)余下部分再進(jìn)行估計(jì)讀數(shù)。即將讀數(shù)過(guò)程分為直讀和估讀。例如，如圖2所示，用米尺測(cè)量一物體的長(zhǎng)度時(shí)，物體的長(zhǎng)度在7.4～7.5厘米之間。那么首先直讀，可以直接讀出的部分——準(zhǔn)確數(shù)字應(yīng)為7.4cm；然后估讀，估計(jì)余下部分約為0.5mm，即0.05cm；物體的長(zhǎng)度即為7.45cm。則，其中7.4cm部分為可靠數(shù)字，0.05cm部分為存疑數(shù)字。
2．有效數(shù)字的定義
    我們把通過(guò)直讀獲得的準(zhǔn)確數(shù)字叫做可靠數(shù)字；把通過(guò)估讀得到的那部分?jǐn)?shù)字叫做存疑數(shù)字。把測(cè)量結(jié)果中能夠反映被測(cè)量大小的帶有一位存疑數(shù)字的全部數(shù)字叫有效數(shù)字。如上例中測(cè)得物體的長(zhǎng)度7.45cm。數(shù)據(jù)記錄時(shí)，我們記錄的數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的表述中的數(shù)據(jù)便是有效數(shù)字。
    3.說(shuō)明
    (1)實(shí)驗(yàn)中的數(shù)字與數(shù)學(xué)上的數(shù)字是不一樣的。如
數(shù)學(xué)的   8.35=8.350=8.3500 ,
而實(shí)驗(yàn)的 8.35≠8.350≠8.3500。
    (2)有效數(shù)字的位數(shù)與被測(cè)量的大小和儀器的精密度有關(guān)。如前例中測(cè)得物體的長(zhǎng)度為7.45cm，若用千分尺來(lái)測(cè)，其有效數(shù)字的位數(shù)有五位。
    (3)第一個(gè)非零數(shù)字前的零不是有效數(shù)字。
    (4)第一個(gè)非零數(shù)字開(kāi)始的所有數(shù)字(包括零)都是有效數(shù)字。
    (5)單位的變換不能改變有效數(shù)字的位數(shù)。因此，實(shí)驗(yàn)中要求盡量使用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示數(shù)據(jù)。如100.2m可記為0.1002km。但若用cm和mm作單位時(shí)，數(shù)學(xué)上可記為10020cm和100200mm，但卻改變了有效數(shù)字的位數(shù)。采用科學(xué)計(jì)數(shù)法就不會(huì)產(chǎn)生這個(gè)問(wèn)題了。
     (6)有效數(shù)字與不確定度的關(guān)系。
     有效數(shù)字的末位是估讀數(shù)字，存在不確定性。一般情況下不確定度的有效數(shù)字只取一位，其數(shù)位即是測(cè)量結(jié)果的存疑數(shù)字的位置；有時(shí)不確定度需要取兩位數(shù)字，其最后一個(gè)數(shù)位才與測(cè)量結(jié)果的存疑數(shù)字的位置對(duì)應(yīng)。
    由于有效數(shù)字的最后一位是不確定度所在的位置，因此有效數(shù)字在一定程度上反映了測(cè)量值的不確定度（或誤差限值）。測(cè)量值的有效數(shù)字位數(shù)越多，測(cè)量的相對(duì)不確定度越小；有效數(shù)字位數(shù)越少，相對(duì)不確定度就越大。可見(jiàn)，有效數(shù)字可以粗略反映測(cè)量結(jié)果的不確定度。

    二、運(yùn)算規(guī)則
    一般來(lái)講，有效數(shù)字的運(yùn)算過(guò)程中，有很多規(guī)則。為了應(yīng)用方便，我們本著實(shí)用的原則，加以選擇后，將其歸納整理為如下兩類。
    1.一般規(guī)則
    (1)可靠數(shù)字之間運(yùn)算的結(jié)果為可靠數(shù)字。
    (2)可靠數(shù)字與存疑數(shù)字，存疑數(shù)字與存疑數(shù)字之間運(yùn)算的結(jié)果為存疑數(shù)字。
    (3)測(cè)量數(shù)據(jù)一般只保留一位存疑數(shù)字。
    (4)運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)不由數(shù)學(xué)或物理常數(shù)來(lái)確定，數(shù)學(xué)與物理常數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)可任意選取，一般選取的位數(shù)應(yīng)比測(cè)量數(shù)據(jù)中位數(shù)最少者多取一位。例如：可取=3.14或3.142或3.1416……；在公式中計(jì)算結(jié)果不能由于“2”的存在而只取一位存疑數(shù)字，而要根據(jù)m和v來(lái)決定。
    (5)運(yùn)算結(jié)果將多余的存疑數(shù)字舍去時(shí)應(yīng)按照“四舍六入五湊偶”的法則進(jìn)行處理。即小于等于四則舍；大于六則入；等于五時(shí)，根據(jù)其前一位按奇入偶舍處理(等幾率原則)。例如，3.625化為3.62，4.235則化為4.24。
1.        具體規(guī)則
    (1)有效數(shù)字相加(減)的結(jié)果的末位數(shù)字所在的位置應(yīng)按各量中存疑數(shù)字所在數(shù)位最前的一個(gè)為準(zhǔn)來(lái)決定。例如
          30.4                    26.65
        +  4.325                - 3.905
          34.725                  22.745
取30.4+4.325=34.7，26.65-3.905=22.74。
    (2)乘(除)運(yùn)算后的有效數(shù)字的位數(shù)與參與運(yùn)算的數(shù)字中有效數(shù)字位數(shù)最少的相同。
    由此規(guī)則(2)可推知：乘方、開(kāi)方后的有效數(shù)字位數(shù)與被乘方和被開(kāi)方之?dāng)?shù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同。
(3)指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)由其改變量對(duì)應(yīng)的數(shù)位決定。例如：中存疑數(shù)字為0.08，那么=？我們將的末位數(shù)改變1后比較，找出發(fā)生改變的位置就能得知。
(4)有效數(shù)字位數(shù)要與不確定度位數(shù)綜合考慮。
     一般情況下，表示最后結(jié)果的不確定度的數(shù)值只保留1位，而最后結(jié)果的有效數(shù)字的最后一位與不確定度所在的位置對(duì)齊。如果實(shí)驗(yàn)測(cè)量中讀取的數(shù)字沒(méi)有存疑數(shù)字，不確定度通常需要保留兩位。
    但要注意：具體規(guī)則有一定適用范圍，在通常情況下，由于近似的原因，如不嚴(yán)格要求可認(rèn)為是正確的。

引用-------(6)有效數(shù)字與不確定度的關(guān)系。

是嗎?有待商榷.

有的測(cè)量數(shù)字的最后2位或3位都有可能是估讀的,計(jì)量基準(zhǔn)就有這個(gè)問(wèn)題,

另:不確定度一般都取2位有效數(shù)字,樓主說(shuō)是1位,也有一點(diǎn)道理!!